全等三角形是初中數學中非常重要的内容,今天我們就把初二數學中,與全等三角形相關的方法、思路及技巧都來整理一下。
一、全等三角形的性質與判定。
五種判定方法:SSS,SAS,AAS,ASA,HL,其中HL是邊邊角(SSA的特例)。全等三角形的對應邊相等,對應角相等,一句話,凡是對應的,都相等。
二、尋找全等三角形常用方法
1、直接從結論入手
一般會有以下幾種要求證的方向:
- 線段相等
- 角相等
- 度數
- 線段或者線段的和、差、倍、分關系
然後根據題目要求證的方向,找到要證明的相關量分别在哪兩個三角形中,再圍繞這兩個三角形進行研究。
2、從已知條件入手
把所有能标注在圖上的已經條件标注出來,注意用不同的标示進行區分,比如第一組相等的線段用一條短豎,第二組相等的線段用兩條短豎,再比如第一組相等的角用一個小圓弧,第二組相等的角就用兩個小圓弧等。
然後通過已知條件找到相關的兩個三角形,再進行分析。記住一句話:“充分利用已知條件”。
3、把已經條件和結論綜合起來考慮
找到所有的已知條件和隐藏條件,結合結論,找出可能全等的兩個三角形,再進行分析。
4、如果上述方法都确定行不通,就考慮添加輔助線來構造全等三角形。
三、構造全等三角形的一般方法
1、題目中出現角平分線
(1)通過角平分線上的某個已知點,向兩邊作垂線,這是利用角平分線的性質定理或者逆定理來構造的全等三角形
(2)在角平分線的某個已知點,作角平分線的垂線和兩邊相交,構造全等三角形。
(3)在該角的兩邊,距離角的頂點相等長度的位置上截取兩點,分别連接這兩點與角平分線上的某已知點,構造全等三角形
2、題目中出現中點或者中線(中位線)
(1)倍長中線法,把中線延長至二倍位置
(2)過中點作某一條邊的平行線
3、題目中出現等腰或者等邊三角形
(1)找中點,倍長中線
(2)過頂點作底邊的垂線
(3)過某已知點作一條邊的平行線
(4)三線合一
4、題目中出現三條線段之間的關系
通常用截長補短法,在某條線段上截取一段線段,使之與特定的線段相等,或者将某條線段延長,使之與特定線段相等。這種方法,在證明多條線段的和、差、倍、分關系時,效果非常好。
5、題目中出現垂直平分線
把線段兩端點與垂直平分線上的某點連接
6、某些特定題目中還可以使用旋轉法、翻折法等。
四、補充一些常見的隐藏條件
1、等腰直角三角形,除了兩腰相等、兩底角相等外,很多同學都會忽略掉三個度數:45,45,90
2、等邊三角形,同樣除了三條邊相等,三個角相等外,還要注意60度,通過三線合一,還能得到30度角
3、平角180度,這是最容易忽略的
4、外角,外角和,内角和
5、三角形的五心:重心(中線交點)、外心(中垂線交點)、内心(角平分線交點)、垂心(高線交點),旁心(旁切圓的圓心)
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