人的一生難免會遇到很多尴尬的時候……

比如，上廁所沒有紙了

其實這種欲哭無淚的情況還有很多，什麼排隊的時候我在哪條隊伍哪條隊伍就更慢，在電梯裡突然肚子告急想要來一個忍無可忍的屁……今天我們就來聊一聊廁所裡這件避無可避的尴尬的事情……

廁 紙

Toilet Paper

提起廁所，我們離不開廁紙。廁紙的制造過程其實很普通的紙張并沒有太大的區别，但是因為用途不同，廁紙以及其他紙巾被設計地極其薄而且極其地脆弱，從而提供人們日常擦拭皮膚 擦屁股 以及清潔物品表面等用途。

日本奈良時代的廁籌，旁邊是用來對比大小的現代廁紙

在古代，紙還不那麼地普及，隻能用來書寫的時候，人們普遍用可以重複使用的東西來清理自己的屁屁，比如我們熟悉的廁籌，還有動物毛皮，布手等東西。但是随着時代變遷，紙越來越普及。我們熟悉的劉姥姥在大觀園突然覺得要拉肚子，都是「忙的拉着一個小丫頭，要了兩張紙」。

卷紙的制造過程其一

現在，人們一般認為是蓋耶提（Joseph C. Gayetty）發明了現代意義上的商品化的衛生紙。1850 年代是家庭清潔的黃金十年，洗碗機和洗衣機都在這段時期問世，但這兩項發明都不如商品化的衛生紙那麼具革命性。在此之前的美國人一般都用玉米殼以及從報紙、雜志和型錄（彙集了商品信息的冊子）上撕下來的紙，既好用又沒花多少錢。美國一些型錄出版商甚至開始在角落打個洞，像是默認他們的産品注定會挂在茅坑，當衛生紙用。

卷紙的制造過程其二

一般我們用濕韌強度代表紙張在完全潤濕狀态下的韌性指标。面巾紙一般要求具有濕韌性，畢竟不能一擦臉上的水，紙全變成渣渣糊在臉上了。而廁用衛生紙一般不允許具有濕韌性，就是為了防止在使用後紙張不易分解而堵塞衛生化糞池。丢入馬桶很快就能分解掉。如果你家廁所因為你扔進去紙 而不是拉得太多 而堵了，那說明：你用錯紙了。

兩種不同的紙巾，在被水浸泡後表現地不盡相同

紙巾紙的國家标準是 GB/T20808-2011，其中衛生标準是 GB15979，而衛生紙的标準是 GB/T20810-2006。一般包裝反面會有标準号，可以通過這個辨别。你也可以自己做實驗，把紙巾丢到清水中，看是否會變成渣渣來辨認。

包租婆，廁所又沒紙啦！

Warning! No Toilet Paper!!!

為了避免廁所沒紙的尴尬，在裝修家裡的衛生間時，我們可以安裝一個廁所雙紙巾架。大多數家庭廁所隻有一個獨立的紙巾架。不管怎麼說，隻有一卷紙巾實在是沒啥安全感，萬一前面一個人用的紙巾多了一點，而又來不及換下一卷紙巾的時候，就隻能面對無紙可用的窘境。很多人有一個好習慣，在看到紙巾快要用完的時候，會在馬桶水箱上放一個新的。但是既然如此，我們為啥不做一個可以放兩卷紙的支架呢？

一個紙巾架真的毫無安全感，因為你根本想不到會因為什麼原因上廁所沒紙……

不過目前多了一卷紙并沒有徹底解決無紙可用的問題。萬一兩卷紙都在同一時間用完了，怎麼辦？雖然紙巾清空比起之前多了一倍的時間，但是我們還是遇到同樣的問題：包租婆，廁所又沒紙啦！在廁所擁有兩卷紙巾以後，我們的問題其實變得複雜了一些，選擇哪卷衛生紙作為我們的「擦屁屁紙」，成為了整個問題的關鍵。

經過一段不長的思考和實踐以後，我們可以使用三種不同的「擦屁屁紙選擇算法」：大策略，小策略以及随機策略。

大策略：始終從最大的卷中取紙（如果一樣大，就選近的那個）

小策略：始終從最小的卷中取紙（如果一樣大，就選近的那個）

随機策略：放棄思考，随機選擇、

不知道你平時是哪一種策略呢？

随機策略是最自然的，但是如果我們的選擇真的是随機的話，我們會平等地選擇兩個卷，所以它們會被幾乎同時地清空……所以為了後來進入廁所的人，也為了我們自己，我們不能草率地做出用哪一卷紙的決定。

如果我們使用大策略，假設我們有 A 和 B 兩個卷，但是 A 更大一點，那麼這種情況下，我們會先用大的那一卷 A，直到 A 和 B 兩個卷一樣大。所以 A 和 B 兩個卷幾乎是勻速地減少，也就是……我們依舊沒有辦法擺脫兩卷紙同時被用完的宿命……

小策略實際上才是最為正确的選擇。因為我們始終使用較小的那個卷，因為它會越來越小，直到耗盡，然後我們再切換到另外一個全新的卷紙。這樣的好處不言而喻，在一卷紙用完以後，另一卷紙還剩足夠長，給人們留下了充足的更換另一卷紙的時間。

建個模型吧

Modeling

雖然經過我們的證明，小策略是一個很完美的避免大家進入廁所以後無紙可用的尴尬策略，但是現實往往很殘酷，并不是所有人都意識到了這一點。有的人依舊會選擇大的那個，有的人依舊會随機地選擇自己用哪卷紙。

模型很豐滿，現實很骨感

為了一般化上面的情況，我們可以定義在所有進入廁所中的人中會有 q 的概率選擇小策略，而會有 p 概率的人選擇大策略。當然，p q = 1。對于随機選擇的人，其實就對應上面模型中的 q = 1 / 2。

怎麼來衡量用紙尴尬情況發生的可能性呢？令 Mn(p)為兩個長度均為 n 的卷紙在一個卷紙用完以後，另一個卷紙的長度的數學期望。如果這個 M 越大，就意味着越安全，留給我們換一卷新的紙的時間也就越多。如果這個 M 越小……我們就隻能自求多福不要遇到這種尴尬的情況了……

高德納（Donald Ervin Knuth）教授為現代計算機科學的先驅人物，創造了算法分析的領域，在數個理論計算機科學的分支做出基石一般的貢獻。在計算機科學及數學領域發表了多部具廣泛影響的論文和著作。1974年圖靈獎得主。

這個這麼關系到大家生活幸福程度的事情，怎麼可能沒有科學家關注過呢？在 1984 年，高德納（Donald Ervin Knuth）教授就研究過 Mn(p) 的具體表達式，以及其一些性質。我們可以通過一些簡單的情況來熟悉分析的方法。

假設卷紙隻有 1 格。那麼不管用什麼策略，我們都會用掉一格紙，所以 M1(p) = 1。

假設卷紙隻有 2 格。我們用 (2, 2) 表示目前卷紙的狀态，那麼和前面類似，不管用什麼策略，我們都會用掉一格紙，所以這時變成了 (2, 1)。接下來我們有 q 的概率變成 (2, 0)，然後 p 的概率變成 (1, 1)。所以最終剩餘長度的數學期望為 M2(p) = 2 * q p = 2 - p。

當 n = 10 時候的表達式，雖然看上去很複雜，但是分析方法和上面其實是一緻的

一般的情況我們可以用下面的公式表示這種卷紙狀态（也就是前面的長度對）的變化情況。當然，卷紙狀态和 M 的值是一一對應的。

如果兩個長度不同，用不同的概率變成兩種不同的狀态。如果兩個長度相同，那麼就選一個長度減 1。如果一個已經變成了 0，那麼剩餘長度就是我們數對中另一個數。

在 Knuth 的論文中，他讨論了在一般的情形下，一個卷紙空了以後另一個卷紙最後剩餘長度的數學期望是多少。在一個并沒有什麼約定的社會中，大家如果随便選用一個卷紙，假設卷紙總長度為 n，那麼最後一卷的剩餘長度會在 n 的平方根量級上。更為具體的表達式為

以常見的某國産品牌卷紙為例，一卷全新的卷紙長度為 240 格。在随機策略之下，在一卷紙用完以後，另一卷紙将會平均隻剩下 17.5 格。這實在是一個很不妙的信号……

某國産著名紙巾品牌的天貓頁面

如果我們模拟一下 100 格的衛生巾在不同的大策略使用者概率情況下的剩餘長度，我們會發現，随着小策略的人數比重的增加，一卷紙用完以後，另一卷紙的長度會快速地增加。

橫軸為選擇大策略的概率，縱軸為剩餘長度

需要注意的是，在上面模型的讨論中我們實際上是假定了每個人一次用一格紙。

結 論

Conclusion

說了這麼多，其實如何避免廁所無紙可用是一個需要大家共同努力的事情，總結起來其實就是……

卷紙千萬條，策略第一條，

選大不選小，别人兩行淚。

“ 轉發這個好習慣，就能造福你我他 ”

* 封面圖來自 pixabay

參考文獻:

[1] Donald E. Knuth. The American Mathematical Monthly. Vol. 91, No. 8 (Oct., 1984), pp. 465-470

[2] Toilet Paper - Wikipedia

[3] 關于廁紙你不可不知的 36 件事

[4] How does the author find Mn(p) in the Toilet Paper Problem

[5] 發明廁紙前，古人用什麼擦屁股？

[6] 為什麼國外人大多将廁紙丢進馬桶，而中國人不習慣這樣？

[7] Toilet Paper Algorithms: I didn't know you had to be a computer scientist to use toilet paper.

[8] RV Toilet Paper Test

編輯：Cloudiiink

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