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圓是由封閉曲線圍成的
圓是由封閉曲線圍成的
更新时间:2025-04-26 12:14:44

一個粗糙的圓,是多邊形還是圓?這個問題本身沒有太大意義。畢竟,圓的定義即同一平面内,到定點的距離等于定長的點的集合不完美、粗糙的「圓」本身就不是數學定義的圓

圓是由封閉曲線圍成的(在理論裡一個粗糙的圓)1

圖1

「粗糙」的概念是模糊的,無法為我們帶來任何好處,除非我們改用更嚴謹的語言。

例如:「一塊半生不熟的牛排,是生的牛排還是熟的牛排?」

這個問題是不是特别流氓?

我們很快就能看出,牛排不止有「生」、「熟」兩種狀态。

為了讨論「半生不熟」,我們要引入更嚴謹的描述:零分熟、一分熟、二分熟、……、八分熟、九分熟、十分熟。(沒錯,我列出了偶數分熟的牛排。我堅定地認為,數值化是翻譯什麼rare, medium well時候的偉大改進把定性描述改成了定量描述。現實煎牛排時,不可能完美控制熟度,存在随機噪音,所以用不到無限精度的實數,浮點數 精确到小數點後三位就綽綽有餘了。)

回到這個問題,我們可以提出一個類似的思路:「這個二維形狀,有多接近一個完美的圓形?

在二維空間中,它是圓度(roundness)

圓是由封閉曲線圍成的(在理論裡一個粗糙的圓)2

圖2

對于圓度,我們大緻可以把它看做内切圓與外接圓的比值。更具體的數學推導,可以參見英文維基、ISO等更專業的網站。另外,圓度和圓度誤差不是同一個東西,百度百科的簡介裡似乎搞混了。一個完美圓的圓度為1,圓度誤差為0。

我們可能會覺得,隻要一個圖形從各個角度測量的直徑都一樣,那麼它就是一個圓形。其實不是這樣,定寬曲線(例如萊洛多邊形)了解一下?

在三維空間中,類似的概念是球度(sphericity)。但是,球度并非圓度在三維空間的直接推廣

球度是Compactness measure of a shape的一個例子(這裡的compact和拓撲學沒有任何關系)。它的計算方式為

圓是由封閉曲線圍成的(在理論裡一個粗糙的圓)3

,其中Ap是三維物體的表面積,Vp是該物體的體積。

維基百科Sphericity - Wikipedia列出了一些常見三維幾何體的球度

圓是由封閉曲線圍成的(在理論裡一個粗糙的圓)4

更深入的相關知識,估計要找地質學或者工程專業(大概吧……)的工作者了解了。

注:本文轉自公衆号“數學職業家”

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