七年級數學書有理數法則?中學生課外讀物《數的産生與發展》（有理數内有關問題），今天小編就來說說關于七年級數學書有理數法則?下面更多詳細答案一起來看看吧!

七年級數學書有理數法則

中學生課外讀物《數的産生與發展》（有理數内有關問題）

1.有理數與小數

由前知道，整數與分數組成有理數。

而認識了正分數，負分數是正分數的相反數，但多了一個-号而已。

對正分數的認識，從最簡單的開始。

1／2＝1÷2＝0.5，

1／4＝1÷4＝0.25，

1／5＝1÷5＝0.2，

1／8＝1÷8＝0.125，

1／10＝0.1，

1／100＝0.01，

1／5000＝0.0002，

…

這樣的分數相除後，除到小數後某一位就除盡了，這樣的小數叫有限小數。整數無小數部分（因小數部分全為0）。

可以得到有無數個分數均為有限小數。

反過來，有限小數均可化為分數。如：

0.57325

＝0.5＋0.07＋0.003＋0.0002＋0.00005

＝5／10＋7／100＋3／1000 2／10000＋5／100000

＝57325／10000

再約分至最簡分數即得。

其它類似。

所以，有限小數就是分數，分數就是有限小數。這樣一來，整數與有限小數都是有理數。

但還有一部分分數，化成小數是除不盡的，即小數點後有無數多位小數，我們把它們稱為無限小數。

人們經過研讨發現，分數化為小數是無限小數時，後面的小數總是某段小數不斷重複出現的形式。如：

1／3＝0.33333333…

其中3不斷重複出現。

1／6＝0.16666666…其中6不斷重複出現。

1／7＝0.142857142857142857…其中142857不斷重複出現。

1／9＝0.11111111…其中1不斷重複出現。

1／11＝0.0909090909090…其中90不斷重複出現。

1／13＝0.076923076923076923076923…其中076923不斷重複出現。

這樣的小數我們稱為無限循環小數。

∵1／9＝0.1111111111111…

∴0.77777777…

＝7×0.11111111…＝7／9，

∵1／99＝0.01010101…，

∴0.232323…

＝23×0.01010101…

＝23／99，

∵1／999

＝0.000100010001…

∴0.831831831831…

＝831×0.000100010001…

＝831／999，

3.5221703703703…

＝3＋5221／10000＋0.703703703…／100000

＝3＋5221／10000＋703／999÷100000

＝分數。

一般地，無限循環小數用數列求和及極限的有關知識可以證明，均可化為分數。

所以，無限循環小數是有理數。

這樣就有：

從小數角度來說，有理數包括整數，有限小數和無限循環小數三大部分。當然，整數，有限小數和無限循環小數均是有理數。

問題：

0.1010010001000010000010000001…後面出現的每兩個1之間的0的個數是不斷增加的，這個小數就不是一個循環小數，它能化為分數嗎？它是有理數嗎？你還能寫出類似的小數嗎？

2.質數與合數

大家應該記得，在研究分數運算時，要對分數進行通分和約分，在通分和約分時要找要正整數的最大公約數和最小公倍數，其中要将每個正整數分成幾個整數之積，并且分到不能再分為止。

一個大于1正整數不能再分成另兩個正整數之積的數，我們稱之為質數（或素數），即若一個大于1的正整數隻能寫成1與它本身之積而不能寫成其它形式，則此數為質數（或素數）。如：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，91，97，101，…

其它的大于1的正整數稱為合數。如：2，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，30，32，33，34，35，36，38，39，40，…

大于2的合數一定可以寫成另幾個質（或素）數之積。

正整數中，1既不是質數也不是合數。

在長期的運算積累中，人們發現了質數與合數的好多結論：

大于2的質數是奇數，

各位數字之和能被3整除的正整數是3的倍數，

末位是0或5的正整數是5的倍數。

要要得到一個數為質數，隻需要将它分别除以小于它的質數2，3，5，7，11，13，17，19，…，讓除數逐漸增加，整數商則一直減少，并且餘數總不為0，當商比除數還小時，仍然除不斷，即商仍不為整數，則此數為質數。

如101，隻須選除數為2，3，5，7，分别去求商，得到的商全部不為整數，則101就是質數。不需要再用101去除以11，13，17，19等質數了。

這個方法，對于比較小的正整數來判斷其是否為質數是有效可行的。

截止現在，人們對于質數研究，得出了很多基本結論，但也留下了許多未解之謎。

如：素（質）數有無數多個。

任何大于2的合數均可寫成素數之積。

能否找一個式子f（n）（n∈N），使其值均是素數？

一個大的偶數，均可寫成兩個素數之和嗎？

關于素數的研究，形成一門學科，叫《數論》，有興趣可找專門書去學習。

3.整數集内不定方程

先看兩元一次不定方程情況。

（1）.求3x＋5y＝13的整數解

解：∵3x＋5y＝3＋5×2

∴3（x-1）＝5（2-y）

由于x、y為整數，可得：

x-1＝5k且2-y＝3k（k∈Z）

即x＝5k＋1且y＝2-3k（k∈Z）

∴所求解有無數多組，可記為（x，y）＝（5k＋1，2-3k）（k∈Z），如（-9，8），（-4，5），（1，2），（6，-1），（11，-4），（16，-7）都是解。

（2）.求34x 7y＝89的整數解

解：①先試求一解：

x＝1時，7y＝55無解，

x＝2時，7y＝21，y＝3。

∴x＝1且y＝3，記為（x，y）＝（1，3）是一解。

②求所有整數解：

由上知：

34x＋7y＝89＝34×2＋7×3

34（x-2）＝7（3-y）

由整除性知：

x-2＝7k且3-y＝34k（k∈Z）

x＝7k＋2且y＝3-34k（k∈Z）

∴其所有解為：

（x，y）＝（7k＋2，3-34k）（k∈Z）。

（3）.求解：x＾2＋y＾2＝z＾2（x，y，z∈Z）。即求所謂的勾股數：找三個整數x、y，使其中兩個x、y的平方和等于另一個z的平方。

解：∵x＾2＝（z＋y）（z-y）

且x＾2（x的平方），z＋y，z-y都是正整數，

①當z＋y＝x＾2時z-y＝1

可得：z＝y＋1且y＝（x＾2-1）÷2

令x＝2k-1得：y＝2k（k-1），z＝2k（k-1）＋1（k∈Z）。

∴此時有解：（x，y，z）＝（2k-1，2k（k-1），2k（k-1）＋1）。如（-5，12，13），（-3，4，5），（-1，0，1），（1，0，1），（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85）都是勻股數。

②當z＋y＝kx時z-y＝x÷k，

解得：y＝（kx-x÷k）÷2且z＝（kx＋x÷k）÷2

令x＝2kn則：

y＝nk＾2-n，

z＝nk＾2＋n。

∴方程有另外的解：

（x，y，z）＝（2kn，nk＾2-n，nk＾2＋n）（k∈Z，n∈Z）。

如：n＝0時解為（0，0，0），

n＝1時解為（2k，k＾2-1，k＾2＋1），

n＝2時解為（4k，2k＾2-2，2k＾2＋2）

n＝3時解為（6k，3k＾2-3，3k＾2＋3）

k＝o時解為（0，-n，n）

k＝1時解為（2n，0，2n）

k＝2時解為（4n，3n，5n）

k＝3時解為（6n，8n，10n）

k＝4時解為（8n，15n，17n）

由于是求整數解，還有其他情況讨論，得另外形式的解。

綜上可知，一次不定方程的整數解求出已經完全解決，而高次不定方程的整數解求出是困難的。

（4）.問題：

方程x＾3＋y＾3＝z＾3（x，y，z均為大于3的整數）有沒有解。

4.度量與有理數

有了數，就可以解決生活、生産中的問題，如：長度度量及計算，面積度量及計算，體積度量及計算，重量度量及計算，時間度量及計算等。

人們在度量中，先選一個物體為單位去度量某對象，如果單位選擇過小，度量數過大，人們會選用更大的單位去重新度量，如果單位選擇過小，不夠一個單位或度量數過小不便記讀，人們會選用更小的單位去重新度量，總之，讓度量得到的數适中，便于人記憶、識别和處理。

比如：

度量房間大小，要測長寬高，要選用米為單位，如一房長10米，寬4.5米，高3.2來。

度量兩城市之間距離，選用單位公裡（km），如兩市距離為429公裡（km）。

度量恒星之間的距離，常用光年（即光一年所行駛的距離），如某兩恒星間距為8.52光年。

而度量毛發直徑，則須用到毫米單位，如某毛發直徑為0.01毫米。

當然，不同單位之間是可以換算的。如：

1公裡＝2裡＝1000米，

1米＝10分米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米，1毫米＝1000微米。

長度度量解決了，面積，體積也自然不在說下。

如：一個邊長為1米的正方形面積＝1平方米，它用它作單位，看某平面圖形占地面積，如某房間有32平方米。

度量田地面積時，常用畝為單位，1畝＝15平方丈＝666（2／3）平方米。

度量體積時，可取棱長為1米的正方體所占空間大小作為1立方米為單位，看其它物體占空間大小。如某人身體有0.8立方米，某房間有3×4×3＝36立方米，某水庫貯水量為1.51億立方米。

如度量某物輕重，人們先制作一金屬件規定它為1公斤，然後看其它物體是它的多少倍，就得到這個物體有多少公斤。如某人63公斤，某牛1125公斤。

大件貨物常取噸為單位，如某橋梁重2.3萬噸，某車運載量為35噸。

要要稱量一根頭發多重，就需要用毫克或微克為單位了。

我們知道：

1噸＝1000公斤，1公斤＝1000克，1克＝1000毫克。

度量時間，由于人們生活在地球上，便利用地球特點來記錄時間長短。如四季一循環，便把四季經曆的時間為一年，月亮起落循環出現，便把月亮這種規律的一個循環稱為一月，太陽不斷起落循環，便将某一個循環叫一天，一天有早晚，便把一天長短分成24等份，一份長短為1小時，把1小時長短又分成60等份，每份長短為1分鐘。

這樣一來，就可說：某人壽命為70年3月10天20小時5分。某人在校學習時間10個小時，在家學習時間3小間，做家務2.5小時，玩8小時，其餘時間睡覺。

某人跑100米用時12.56秒。

某人走路平均速度為4.5公裡每小時，某車行駛速度達到145公裡每小時，嚴重超速。人造衛星速度為8.2每秒。

有了度量單位和有理數後，我們要表述我們所遇到的各種現象，就可以簡明準确。

如：快，沒有速度單位和數，怎麼表述？快，很快，飛快，快的不可想象，一晃就不見了，一瞬間，一眨眼，這些形容詞區分不了多少快慢，有了速度單位和數就将快慢劃分成無數個等級，每個物體都處在某個等級上。

這給人們科學地準确認識世界研究世界，提供了必要的知識工具。

按說有了有理數及運算知識後，人們在生活、生産中的各種實際問題，都基本能得到解決，特别是在人們認識世界不是那麼嚴格，精度不是那麼高的前提下。

所以，人們以為有理數，就是所有的數了。這個觀點盛行了好長好長時間。

5.有理數的其它運算：乘方與開方。

與相同數的加法可以寫成乘法一樣，人将相同數的乘法寫成了乘方。

如：2×2×2＝2＾3，

5×5×5×5×5×5×5＝5＾7，

10＾100＝100個10之積。

2.305＾7＝7個2.305相乘。

一般地：當a∈Q，n∈N，n＞1時a＾n＝n個a相乘，其中a叫底數，n叫指數，a＾n稱為正整數指數幂，讀作a的n次方。

特别地規定：a＾1＝a，a≠0時a＾0＝1。

如2＾3＝8，3＾2＝9，5＾3＝125，（-3）＾3＝-27，…

當n∈N，n＞1時0＾n＝0，1＾n＝1。

顯然正有理數的正整數次方為正有理數，0的正整數次方為0，負數的正偶數次方為正數，負數的正奇數次方為負數。

邊長為x的正方形面積為x＾2，棱長為x的正方體的體積為x＾3。利用這兩個結論，可容易求面積和體積。

有了上述自然數幂定義，很容易推出自然數幂運算公式：

a＾m×a＾n＝a＾（m＋n），

a＾m÷a＾n＝a＾（m-n），

（ab）＾n＝a＾n×b＾n，

（a／b）＾n＝a＾n÷b＾n，

（a＾m）＾n＝a＾（mn）。

如：3＾2×3＾3＝3＾（2＋3）＝3＾5二243，

3＾3÷3＾2＝3＾（3-2）＝3＾1＝3，

（2×3）＾2＝2＾2×3＾2＝4×9＝36，

（2／3）＾2＝2＾2÷3＾2＝4／9，

（2＾2）＾3＝2＾（2×3）＝2＾6＝64。

由a＾3÷a＾2＝a＾（3-2）＝a＾1知a＾1＝a的合理性。

由a＾3÷a＾3＝a＾（3-3）＝a＾0知a＾0＝1的合理性。

與加乘逆運算為減除一樣，乘方也有逆運算，稱為開方。具體含義如下：

∵2＾2＝4，∴底數2稱為4的2次方根，也稱為4的平方根。

∵（-2）＾2＝4，∴底數-2稱為4的2次方根，也稱為4的平方根。

可見4的平方根有2個，為±2，它們互為相反數。

∵2＾3＝8，∴2稱為8的三次方根，也稱為8的立方根。

由運算知8的立方根有且隻有一個為2。

∵n∈N且n≥2時0＾n＝0，∴0的平方根，立方根，4次方根，5次方根，10次方根，1000次方根均為0。

一般地，若x＾n＝a，其中n∈N且n≥2，則稱x為a的n次方根。

如：64的平方根為±8，立方根為4，6次方根為±2。

1的正偶次方根為±1，正奇次方根為1。

243的5次方根為3。

有了開方運算後，我們就可解下列問題：

面積為4的正方形的邊長是什麼？是4的正平方根，為2。

體積為64的正方體的棱長是多少？是64的三次方根，為4。

很顯然：

正數的正偶次方根有兩個，它們互為相反數，0的正偶次方根為0，負數沒有正偶次方根。

正數的正奇次方根為一個正數，0的正奇次方根為0，負數的正奇次方根為一個負數。

正數a的正n次方根常用根号√來表示，在√左邊彎彎上寫上一個小n，√下面寫上a即可，讀作n次根号a。當n＝2時常省略n，如√2就是2的正平方根，-√3就是3的負平方根。

開方的運算性質此處略。

6.新數的出現

人們以為有了有理數，數的世界就完美了，就可以用有理數來解決自然中的所有問題了。

在這種心滿意足的狀态下，人們度過了不短時間。

但事情總是向前發展的，一個數學家在數的研究中，發現了一個不可思議的問題。

√2＝二次根号2，它不是一個分數，當然就不是有理數。

證明如下：

設√2＝m／n（m，n∈N，n≥2，m與n互質），則：

m＾2＝2（n＾2），

∵2（n＾2）為一個偶數，且奇數的平方是一個奇數，

∴m＾2中m為一個偶數，設m＝2k（k∈N），代入上式：

（2k）＾2＝2（n＾2），

4（k＾2）＝2（n＾2），

2（k＾2）＝n＾2，

即：n＾2＝2（k＾2），

∵2（k＾2）為一個偶數，且奇數的平方是一個奇數，

∴n＾2中n為一個偶數，設n＝2q（q∈N）。

由上知，m＝2k（k∈N），n＝2q（q∈N），∴m，n均為偶數，它們至少有公約數2。

這與m，n互質相矛盾，∴√2不能寫成一個最簡分數m／n的形式。

可見√2不是一個分數，當然不是一個有理數。

雖說證明都給出了，但人們不願意相信這個事實。

有人想從另一個方面去推翻這個事實，就是想化√2為小數，看它是不是一個有限小數或無限循環小數。由于開方手算的艱難，最終不了了之。

有人受前例證明啟發，又發現二次根号3，二次根号5，二次根号7，三次根号2，三次根号5，三次根号7，等均不能用分數表示。

初逼無賴，最後一部分人，慢慢承認了它們不是有理數，而是一類新數，就稱它們為無理數。

經過研究深入，人們才最終承認并開始研究無理數。

,