曉查 發自 凹非寺

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以快速簡潔聞名Julia，本身就是為計算科學的需要而生。用它來學習微積分再合适不過了，而且Julia的語法更貼近實際的數學表達式，對沒學過編程語音的初學者非常友好。

最近，來自紐約斯塔頓島學院的數學系教授John Verzani編寫了一份微積分與Julia的教程，裡面常見的微積分概念和圖像演示都有，比課本更生動直觀，每個章節後還附習題供讀者鞏固知識。

雖然很多學校在使用Mathematica、Maple等數學軟件在進行教學，但是Julia的優勢是完全開源和免費。

準備工作

在使用教程之前，我們先給Julia安裝Plots包，這是用來繪制函數圖像的擴展包。此外還要安裝SymPy科學計算庫等其他軟件包。

using Pkg Pkg.add("Plots") Pkg.add("SymPy") Pkg.add("Roots") Pkg.add("Forwarddiff") Pkg.add("ImplicitEquations") using Plots plot(sin, 0, 2pi)

安裝完以上的擴展包，就可以繪制函數圖像了。我們簡單繪制0到2π範圍的正弦函數圖像：

using Plots plot(sin, 0, 2pi)

Julia支持輸入特殊數學符号，具體的方法是斜杠\後緊跟符号的LaTeX名稱，然後按下Tab鍵，就能輸出特殊字符。比如：

θ = 45; v₀ = 200

輸入θ的方法是\theta[tab]，輸入v₀的方法是v\_0[tab]。

導數

完成了Julia部分的基本教學後，下面就是微積分的基本概念了。

先回顧一下導數的定義，從函數圖像上來看，導數就是函數割線斜率的極限，當割線上兩點合并成一點時，它就變為切線。

其實就是求下面的極限：

Julia集成了求極限的功能，對于正弦函數sin(x)而言，求它的導數就是[sin(x h)-sin(x)]/h在h趨于0時的極限

using SymPy limit((sin(x h) - sin(x))/ h, h, 0)

通過以上方法求得sin(x)在x=0處的導數為1，繪制成函數圖像就是：

f(x) = sin(x) c = 0 tl(x) = f(c) 1 * (x - c) plot(f, -pi/2, pi/2) plot!(tl)

導數的應用

1、牛頓法

通過切線逐步逼近，求方程的近似解。

2、洛必達法則求極限

寫成Julia語言：

using SymPy a,x = symbols("a, x", positive=true, real=true) f(x) = sqrt(2a^3*x - x^4) - a * (a^2*x)^(1//3) g(x) = a - (a*x^3)^(1//4)

上面的表達式過于複雜，是0/0的未定式，對分子f(x)和分母g(x)分别分别求導：

fp, gp = subs(diff(f(x),x), x=>a), subs(diff(g(x),x), x=>a)

得到結果

(-4*a/3, -3/4)

所以極限值為16a/9。

積分

定積分就是求函數曲線下包圍面積：

上圖展示了求定積分的方法：把函數下方圖形分割成若幹個長條，随着長條越分越細，這些長條的面積之和就越來越接近曲線下包圍的面積。

為了求函數f(x)=x²在[0,1]區間裡的定積分的近似值，我們把整個區域劃分成50000份：

a, b = 0, 1 f(x) = x^2 n = 50_000 xs = a:(b-a)/n:b deltas = diff(xs) cs = xs[1:end-1] sum(f(cs[i]) * deltas[i] for i in 1:length(deltas))

最後求得結果為：

0.3333233333999998

顯然用這種方法求定積分太過複雜，這就需要引入不定積分的概念。不定積分是已知導數f’(x)求原函數f(x)。

定積分與不定積分由牛頓-萊布尼茲公式聯系起來：

積分的應用

學會了積分以後，教程裡給出了它的幾個實際應用案例：

1、求曲線長度

求解f(x)=x²在[0,1]這段區間裡的弧長，實際上求積分。

先求不定積分：

using SymPy @vars x F = integrate(sqrt(1 (2x)^2), x)

F(1)-F(0)就是所求弧長：

2、求體積

求體積的方法是把物體“切”成一圈圈的米其林，每一圈的體積加起來就是總體積。

将直線x/r y/h=1繞着y軸旋轉一周，得到一個底面直徑為r，高度為h的圓錐體。

using SymPy @vars r h x y R = r*(1 - y/h) integrate(pi*R^2, (y, 0, h))

最後求得體積：

教程中還有很多其他基本概念，由于篇幅較長，我們就不一一介紹了，感興趣的朋友可以去博客中進一步學習。

原文地址：

https://calculuswithjulia.github.io/

— 完 —

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