曉查 發自 凹非寺
量子位 報道 | 公衆号 QbitAI
以快速簡潔聞名Julia,本身就是為計算科學的需要而生。用它來學習微積分再合适不過了,而且Julia的語法更貼近實際的數學表達式,對沒學過編程語音的初學者非常友好。
最近,來自紐約斯塔頓島學院的數學系教授John Verzani編寫了一份微積分與Julia的教程,裡面常見的微積分概念和圖像演示都有,比課本更生動直觀,每個章節後還附習題供讀者鞏固知識。
雖然很多學校在使用Mathematica、Maple等數學軟件在進行教學,但是Julia的優勢是完全開源和免費。
準備工作
在使用教程之前,我們先給Julia安裝Plots包,這是用來繪制函數圖像的擴展包。此外還要安裝SymPy科學計算庫等其他軟件包。
using Pkg Pkg.add("Plots") Pkg.add("SymPy") Pkg.add("Roots") Pkg.add("Forwarddiff") Pkg.add("ImplicitEquations") using Plots plot(sin, 0, 2pi)
安裝完以上的擴展包,就可以繪制函數圖像了。我們簡單繪制0到2π範圍的正弦函數圖像:
using Plots plot(sin, 0, 2pi)
Julia支持輸入特殊數學符号,具體的方法是斜杠\後緊跟符号的LaTeX名稱,然後按下Tab鍵,就能輸出特殊字符。比如:
θ = 45; v₀ = 200
輸入θ的方法是\theta[tab],輸入v₀的方法是v\_0[tab]。
導數
完成了Julia部分的基本教學後,下面就是微積分的基本概念了。
先回顧一下導數的定義,從函數圖像上來看,導數就是函數割線斜率的極限,當割線上兩點合并成一點時,它就變為切線。
其實就是求下面的極限:
Julia集成了求極限的功能,對于正弦函數sin(x)而言,求它的導數就是[sin(x h)-sin(x)]/h在h趨于0時的極限
using SymPy limit((sin(x h) - sin(x))/ h, h, 0)
通過以上方法求得sin(x)在x=0處的導數為1,繪制成函數圖像就是:
f(x) = sin(x) c = 0 tl(x) = f(c) 1 * (x - c) plot(f, -pi/2, pi/2) plot!(tl)
導數的應用
1、牛頓法
通過切線逐步逼近,求方程的近似解。
2、洛必達法則求極限
寫成Julia語言:
using SymPy a,x = symbols("a, x", positive=true, real=true) f(x) = sqrt(2a^3*x - x^4) - a * (a^2*x)^(1//3) g(x) = a - (a*x^3)^(1//4)
上面的表達式過于複雜,是0/0的未定式,對分子f(x)和分母g(x)分别分别求導:
fp, gp = subs(diff(f(x),x), x=>a), subs(diff(g(x),x), x=>a)
得到結果
(-4*a/3, -3/4)
所以極限值為16a/9。
積分
定積分就是求函數曲線下包圍面積:
上圖展示了求定積分的方法:把函數下方圖形分割成若幹個長條,随着長條越分越細,這些長條的面積之和就越來越接近曲線下包圍的面積。
為了求函數f(x)=x2在[0,1]區間裡的定積分的近似值,我們把整個區域劃分成50000份:
a, b = 0, 1 f(x) = x^2 n = 50_000 xs = a:(b-a)/n:b deltas = diff(xs) cs = xs[1:end-1] sum(f(cs[i]) * deltas[i] for i in 1:length(deltas))
最後求得結果為:
0.3333233333999998
顯然用這種方法求定積分太過複雜,這就需要引入不定積分的概念。不定積分是已知導數f’(x)求原函數f(x)。
定積分與不定積分由牛頓-萊布尼茲公式聯系起來:
積分的應用
學會了積分以後,教程裡給出了它的幾個實際應用案例:
1、求曲線長度
求解f(x)=x2在[0,1]這段區間裡的弧長,實際上求積分。
先求不定積分:
using SymPy @vars x F = integrate(sqrt(1 (2x)^2), x)
F(1)-F(0)就是所求弧長:
2、求體積
求體積的方法是把物體“切”成一圈圈的米其林,每一圈的體積加起來就是總體積。
将直線x/r y/h=1繞着y軸旋轉一周,得到一個底面直徑為r,高度為h的圓錐體。
using SymPy @vars r h x y R = r*(1 - y/h) integrate(pi*R^2, (y, 0, h))
最後求得體積:
教程中還有很多其他基本概念,由于篇幅較長,我們就不一一介紹了,感興趣的朋友可以去博客中進一步學習。
原文地址:
https://calculuswithjulia.github.io/
— 完 —
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