有理數的概念

一、知識要點

1、正數和負數

（1）、大于0的數叫做正數。

（2）、在正數前面加上負号“-”的數叫做負數。

（3）、數0既不是正數，也不是負數，0是正數與負數的分界。

（4）、在同一個問題中，分别用正數與負數表示的量具有相反的意義。

2、有理數

(1)凡能寫成分數形式的數，都是有理數，整數和分數統稱有理數.

注意：0即不是正數，也不是負數；-a不一定是負數，如：-（-2）=4，這個時候的a=-2。 p不是有理數；

(2)有理數的分類:

(3)

3、數軸【重點】

（1）、用一條直線上的點表示數，這條直線叫做數軸。它滿足以下要求：

① 在直線上任取一個點表示數0，這個點叫做原點；

② 通常規定直線上從原點向右（或上）為正方向，從原點向左（或下）為負方向；

③ 選取适當的長度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示 1,2,3…；從原點向左，用類似的方法依次表示-1,-2，-3…

（2）、數軸的三要素：原點、正方向、單位長度。

（3）、畫數軸的步驟：一畫（畫一條直線并選取原點）；二取（取正反向）；三選（選取單位長度）；四标（标數字）。數軸的規範畫法：是條直線，數字在下，字母在上。

注意：所有的有理數都可以用數字上的點表示，但是數軸上的所有點并不都表示有理數。

（4）、一般地，設a是一個正數，則數軸上表示數a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長度；表示數-a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度。

4、相反數

（1）、隻有符号不同的兩個數叫做互為相反數。

① 注意：a的相反數是-a；a-b的相反數是b-a；a b的相反數是-(a b)=-a-b；

② 非零數的相反數的商為-1；

③ 相反數的絕對值相等。

（2）、一般地，設a是一個正數，數軸上與原點的距離是a的點有兩個，他們分别在原點的兩側，表示a和-a，我們說這兩點關于原點對稱。

（3）、a和-a互為相反數。0的相反數是0，正數的相反數是負數，負數的相反數是正數。相反數是它本身的數隻有0。

（4）、在任意一個數前面添上“-”号，新的數就表示原數的相反數。

（5）、若兩個數a、b互為相反數，就可以得到a b=0；反過來若a b=0，則a、b互為相反數。

（6）、多重符号的相乘由“-”的個數來定：若“-”的個數為偶數，相乘結果為正數；若“-“的個數為奇數，化簡結果為負數。比如：-2×4×（-3）×（-1）×（-5），首先由4個負号，所以最終結果是正數，再算數字相乘得到120

5、絕對值

（1）、絕對值的定義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離。數a的絕對值記作|a|。

（2）、正數的絕對值等于它本身；0的絕對值是0（或者說0的絕對值是它本身，或者說0的絕對值是它的相反數）；負數的絕對值等于它的相反數；（注意：絕對值的意義是數軸上表示某數的點離開原點的距離；）。0是絕對值最小的數。

（5）、任何數的絕對值總是非負數（非負數是正數或0），即|a|≥0。

（6）、互為相反數的兩個數的絕對值相等。絕對值相等的兩個數可能是互為相反數或者相等。

（7）、有理數比大小：

① 正數比0大，0大于負數，正數大于負數；

② 兩個負數比較，絕對值大的反而小；

③ 數軸上的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；

（8）、比較兩個負數的大小的步驟如下：

① 先求出兩個數負數的絕對值；

② 比較兩個絕對值的大小；

③ 根據“兩個負數，絕對值大的反而小”做出正确的判斷。

有理數的運算

一、學習指導

有理數的運算和小學學習的四則運算很相似，運算規律都一樣，不同的是有負數參與，所以相對要複雜一些，同學們要多加練習。

二、知識要點

1、有理數的加法

（1）、有理數加法法則：

① 同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加；

② 異号兩數相加，取絕對值較大加數的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

③ 一個數與0相加，仍得這個數.

（2）、加法計算步驟：先定符号，再算絕對值。

（3）、有理數加法的運算律：

① 加法的交換律：a b=b a；

② 加法的結合律：（a b） c=a （b c）.

（4）、為了計算簡便 ，往往會采取以下方法：

①互為相反的兩個數，可以先相加；

②符号相同的數，可以先相加；

③分母相同的數，可以先相加；

④幾個數相加能得到整數，可以先相加。

2、有理數的減法

（1）、有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數；即a-b=a （-b）.（有理數減法運算時注意兩“變”：①減法變加法；②把減數變為它的相反數.）

注：有理數的減法實質就是把減法變加法。

3、有理數的乘法

（1）、有理數乘法法則：

①兩數相乘，同号得正，異号得負，并把絕對值相乘；

②任何數同零相乘都得零；

（2）、一個數同1相乘，結果是原數；一個數同-1相乘，結果是原數的相反數。

（3）、乘積為1的兩個數互為倒數；

注意：0沒有倒數；若ab=1<====>a、b互為倒數。

（4）、幾個不是偶的數相乘，積的符号由負因式的個數決定。負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數是，積是負數。

（5）、有理數乘法的運算律：

① 乘法的交換律：ab=ba；

② 乘法的結合律：（ab）c=a（bc）；

③ 乘法的分配律：a（b c）=ab ac.

4、有理數的除法

（1）、有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。

（2）、有理數除法符号法則：兩數相除，同号得正，異号得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數，都得0。

（3）、乘除混合運算的步驟：①先把除法轉化為乘法；②确定積的符号；③運用乘法運算律和乘法法則進行計算得出結果。

5、有理數的乘方

（1）、求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做幂。在an 中，a叫做底數，n叫做指數。

（2）、an表示的意義是n個a相乘。如：2³=2×2×2=8

（3）、分數的乘方，在書寫時一定要把整個分數用小括号括起來。如：（1/2）²

（4）、負數的乘方，在書寫時一定要把整個負數（連同負号）用小括号括起來。

（5）、10的幾次方，幂的結果中1後面就有幾個0。如：105 =100000

（6）、負數的奇次幂是負數，負數的偶次幂是正數。顯然，正數的任何次幂都是正數，0的任何正整數次幂都是0。1的任何次幂都是1。-1的奇數次幂是-1，-1的偶數次幂是1。

6、科學記數法

（1）、把一個大于10數表示成a×10n 的形式（其中a是整數數位隻有一位的數，而且

1≤︱a︱＜10，n是正整數），使用的是科學計數法。

（2）、用科學記數法表示一個n位整數，其中10的指數是n-1。

例：240 000 000用科學計數法記為2.4×108

7、近似數

（1）、接近實際數字，但是與實際數字還是有差别，這個數是一個近似數。

（2）、精确度：近似數與準确數的接近程度可以用精确度表示。

（3）、利用四舍五入法得到的近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精确到哪一位。

（4）、從一個數的左邊的第一個非0數字起，到末尾數字止，所有的數字都是這個數的有效數字。

（5）、解題技巧：

①近似數精确到哪一位，隻需看這個數的最末一位在原數的哪一位。

②當四舍五入到十位或十位以上時，應先用科學記數法表示這個數，再按要求取近似數。

（6）、a×10n中有效數字是指a的有效數字。

7、等于本身的數彙總：

① 相反數等于本身的數：0

② 倒數等于本身的數：1，-1

③ 絕對值等于本身的數：正數和0

④ 平方等于本身的數：0,1

⑤ 立方等于本身的數：0,1，-1.

第一章第3節有理數加減法

一、教學内容：

有理數的加減

1. 理解有理數的加減法法則以及減法與加法的轉換關系

2. 會用有理數的加減法解決生活中的實際問題

3. 有理數的加減混合運算

二、知識要點：

1. 有理數加法的意義

（1）在小學我們學過，把兩個數合并成一個數的運算叫加法，數的範圍擴大到有理數後，有理數的加法所表示的意義仍然是這種運算．

（2）兩個有理數相加有以下幾種情況：

①兩個正數相加；

②兩個負數相加；

③異号兩數相加；

④正數或負數或零與零相加．

（3）有理數的加法法則：

同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加；異号兩數相加，絕對值相等時和為0；絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．

一個數同0相加，仍得這個數．

注意：①有理數的加法和小學學過的加法有很大的區别，小學學習的加法都是非負數，不考慮符号，而有理數的加法涉及運算結果的符号；②有理數的加法在進行運算時，首先要判斷兩個加數的符号，是同号還是異号？是否有零？接下來确定用法則中的哪一條；③法則中，都是先強調符号，後計算絕對值，在應用法則的過程中一定要“先算符号”，“再算絕對值”．

2. 有理數加法的運算律

（1）加法交換律：

a＋b＝b＋a；

（2）加法結合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．

根據有理數加法的運算律，進行有理數的運算時，可以任意交換加數的位置，也可以先把其中的幾個數加起來，利用有理數的加法運算律，可使運算簡便．

3. 有理數減法的意義

（1）有理數的減法的意義與小學學過的減法的意義相同．已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，叫做減法．減法是加法的逆運算．

（2）有理數的減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數．

4. 有理數的加減混合運算

對于加減混合運算，可以根據有理數的減法法則，将加減混合運算轉化為有理數的加法運算。然後可以運用加法的交換律和結合律簡化運算。

三、重點難點：

重點：①有理數的加法法則和減法法則；②有理數加法的運算律．難點：①異号兩個有理數的加法法則；②将有理數的減法運算轉化為加法運算的過程．（這一過程中要同時改變兩個符号：一個是運算符号由“－”變為“＋”；另一個是減數的性質符号，變為原來的相反數）

典型例題

例1、計算

（1）（－2）＋（－5）

（2）（－6）＋4

（3）（－3）＋0

（4）－3－（－5）

解：（1）（－2）＋（－5）（同号兩數相加）

＝－（2＋5）（取___的符号，并把絕對值相加）＝－7

（2）（－6）＋4（異号兩數相加）

＝－（6－4）（取__加數的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值）＝－2

（3）（－3）＋0（一個數同零相加）

＝－3（仍得_____）

（4）－3－（－5）（減去一個數）

＝－3＋5（等于加上這個數的___）＝2

注意：進行有理數的加減運算時，注意先确定結果的符号，再計算絕對值．

例2、計算

（－20）＋（＋3）－（－5）＋（－7）．

分析：這個式子中有加法，也有減法．可以根據有理數減法法則，把它改寫成（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7），使問題轉化為幾個有理數的加法

解：（－20）＋（＋3）－（－5）＋（－7）

＝（－20）＋（＋3）＋（＋5）＋（－7）

例3、有10名學生參加數學競賽，以80分為标準，超過80分記為正，不足80分記為負，評分記錄如下：

＋10，＋15，－10，－9，－8，－1，＋2，－3，－2，＋1，問這10名同學的總分比标準超過或不足多少分？總分為多少？

分析：此題用具有相反意義的量來表示各個同學的得分在标準之上還是在标準之下，我們也可以把這些數值相加來表示總分是超出還是不足

解：（＋10）＋（＋15）＋（－10）＋（－9）＋（－8）＋（－1）＋（＋2）＋（－3）＋（－2）＋（＋1）

＝[（＋10）＋（－10）]＋[（－1）＋（＋1）]＋[（＋2）＋（－2）]＋（＋15）＋[（－3）＋（－9）＋（－8）]

＝0＋0＋0＋15＋（－20）

＝－5

80×10－5＝795（分）

答：這10名同學的總分比标準不足5分，總分為795分．

例4、已知︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3，求a－b的值．

分析：要求a－b的值，首先必須确定a、b的值．因為絕對值等于一個正數的數有兩個，一個正、一個負，并且這兩個數互為相反數，即︱x︱＝m（m＞0），則x＝m，或x＝－m．也就是說求出的a、b的值分别有兩個．

解：因為︱a＋5︱＝1，︱b－2︱＝3

所以a＋5＝1或a＋5＝－1，b－2＝3或b－2＝－3

所以a＝－4或a＝－6，b＝5或b＝－1

①當a＝－4，b＝5時，

a－b＝－4－5＝－9

②當a＝－4，b＝－1時，

a－b＝－4－（－1）＝－3

③當a＝－6，b＝5時，

a－b＝－6－5＝－11

④當a＝－6，b＝－1時，

a－b＝－6－（－1）＝－5

第一章第4節【有理數乘除法】

一. 教學内容：

有理數乘除法

1. 有理數的乘法法則及符号法則；

2. 有理數的乘法運算律及其應用；

3. 有理數的除法法則，倒數的意義；

二. 知識要點：

1. 有理數的乘法法則：兩數相乘同号得正，異号得負，絕對值相乘。任何數與0相乘，積為0

2. 有理數乘法運算步驟：

（1）先判斷積的符号（2）再把絕對值相乘。

有理數的乘法符号法則多個有理數相乘時積的符号由負因數個數決定，當負因數個數為奇數時，積為負；當負因數個數為偶數時，積為正，積的絕對值等于各個因數的絕對值的積。

3. 乘法交換律：ab＝ba

乘法結合律：a（bc）＝（ab）c

乘法分配律：a（b＋c）＝ab＋ac

4. 有理數的除法法則：除以一個數等于乘以這個數的倒數；

倒數的意義：乘積是1的兩個數互為倒數；

三. 重點、難點、考點：

重點：有理數乘除法；

難點：運算律的靈活運用；

考點：有理數乘除法是中考的必考内容，一般是融合在其他題目中考查，有時以填空，選擇或簡答題的形式出現。有理數乘除混合運算，還可以開放性、`探索性題目出現。

【典型例題】

【典型例題】

例1. 計算：（1）5×（－4）

（2）（－4）×（－9）

（3）（－0.6）×（－5）

（4）3/7×（－7/9）

解：（1）5×（－4）＝－（5×4）＝20

（2）（－4）×（－9）＝4×9＝36

（3）（－0.6）×（－5）＝0.6×5＝3

（4）3/7×（－7/9）＝－（3/7×7/9）＝－1/3

指導：（1）（4）題是異号兩數相乘，先确定積的符号為“－”，再把絕對值相乘；（2）（3）題是同号兩數相乘，先确定積的符号為“＋”，再把絕對值相乘。

例2. 計算：（1）（－4）×9×（－2.5）

（2）（1/4 1/3-1/6）×（－48）

解：（1）（－4）×9×（－2.5）

＝（－4）×（－2.5）×9

＝10×9

＝90

（2）（1/4 1/3-1/6）×（－48）

＝1/4×（－48）＋1/3×（－48）－1/6×（－48）

＝（－12）＋（－16）－（－8）

＝－20

指導：（1）用乘法交換律和結合律，（2）用乘法分配律。在運用乘法對加法的分配律時，不要漏乘某個加數或弄錯符号，要細心。

例3. －3的倒數是（ ）

A. -1/3 B. 1/3 C. －3 D. 3

解：A

指導：倒數概念以及有理數除法運算是中考命題熱點。求一個數的倒數，用1除以這個數的商即是。注意：負數的倒數是負數，0沒有倒數。

例4. 計算（－16）÷5×1/5

解：（－16）÷5×1/5＝（－16）×1/5×1/5＝－16/25

指導：這是一道乘除混合的同級運算題，沒有括号， 按照自左到右的順序運算，不應先算5×1/5。

例5. 中百超市推出如下優惠方案：

（1）一次性購物不超過100元，不享受優惠；

（2）一次性購物超過100元，但不超過300元一律九折；

（3）一次性購物超過300元一律八折；某人兩次購物分别付款80元，252元，如果他将這兩次所購商品一次性購買，則應付款（ ）。

A. 288元 B. 332元

C. 288元或316元 D. 332元或363元

解：C

指導：本題滲透了分類讨論思想。當252元的實際價值是在300元以内時的實際價值應為：252÷0.9＝280元，故應付款（280＋80）×0.8＝288（元）；當252元的實際價值是在300元以上時的實際價值應為：252÷0.8＝315（元），故應付款（315＋80）×0.8＝316（元）

【思想方法小結】

乘除法運算中同學們要善于“轉化”，除法轉化為乘法，複雜的轉化為簡單的，異号轉化為同号。

【模拟試題】（答題時間：60分鐘，滿分100分）

一. 選擇題（每題4分，共20分）

1. 一件标價為250元的商品，若該商品按八折銷售，則該商品的實際售價是（ ）

A .180元 B. 200元 C. 240元 D. 250元

2. 如果a/b＞0，b/c＞0，則下列說法錯誤的是（ ）

A. ac＜0 B. ab＞0 C. ac＞0 D. bc＞0

3. 下列說法錯誤的是（ ）

A. 小于－1的數的倒數大于其本身；

B. 大于1的數的倒數小于其本身

C. 一個數的倒數不可能等于它本身

D. （m－n）（其中m≠n）的倒數是1/(m-n)

4. 下列說法不正确的是（ ）

A. 一個數與它的倒數之積是1

B. 兩個數的積為1，這兩個數互為倒數

C. 一個數與它的相反數之商是1

D. 兩數之商為－1，這兩個數互為相反數。

5. 已知abc＜0，a＞c，ac＜0，則下列結論正确的是：（ ）

A. a＜0，b＜0，c＞0

B. a＞0，b＞0，c＜0

C. a＜0，b＜0，c＜0

D. a＞0，b＞0，c＞0

【試題答案】

一. 1. B 2 A 3 C 4 C 5 B

第一章第5節【有理數乘方】考點 例題

要點梳理

1、乘方定義

n個相同的因數a相乘，即a*a*a……*a有，記作aⁿ，讀作a的n次方有關概念：在aⁿ中，a叫做底數，n叫做指數。這裡要注意以下幾點：

（1）乘方與幂不同，乘方是幾個相同因數的乘法運算，幂是乘方運算的結果；

（2）底數一定是相同的因數，當底數不是單純的一個數時，要用括号括起來；

（3）一個數可以看作這個數本身的一次，指數1通常省略不寫。

2、符号法則

（1）同底數幂的運算法則：同底數幂相乘除，原來的底數作底數，指數的和或差作指數，am·an=a(m n)或 am÷an=a(m-n)（m、n為正整數）；（2）負數的奇數次幂是負數，負數的偶數次幂是正數；（3）正數的任何次幂都是正數；（4）0的任何正整數次幂都是0；（5）任何一個數的偶次幂都是非負數。

3、運算順序

有理數混合運算的順序：（1）先乘方，再乘除，最後加減；（2）同級運算，從左到右進行；（3）如有括号，先做括号内的運算，按小括号、中括号、大括号依次進行。

4、科學計數法和近似數

科學記數法是一種記數的方法。把一個數表示成a與10的n次幂相乘的形式（1≤|a|<10，a不為分數形式，n為整數），這種記數法叫做科學記數法。

接近準确數而不等于準确數的數叫做這個數的近似數，近似數最末一個數字所處數位就是它的精确度，例如π≈3.1416，即精确到0.0001，或叫做精确到萬分位。從一個數的左邊第一個非0數字起，到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字。

近似數求法，首先清楚題目要求精确到哪一位，然後再去看它的下一位，确定是“舍”還是“入”，并且隻能進行一次四舍五入。

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