整數的拆分，就是把一個自然數表示成為若幹個自然數的和的形式，每一種表示方法，就是自然數的一個分拆。

整數的分拆是古老而又有趣的問題，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在國内外數學競賽中，整數分拆的問題常常以各種形式出現，如，存在性問題、計數問題、最優化問題等。

例1.

電視台要播放一部30集電視連續劇，若要求每天安排播出的集數互不相等，則該電視連續劇最多可以播幾天？

分析與解：由于希望播出的天數盡可能地多，所以，在每天播出的集數互不相等的條件下，每天播放的集數應盡可能地少。

我們知道，1 2 3 4 5 6 7=28。如果各天播出的集數分别為1，2，3，4，5，6，7時，那麼七天共可播出28集，還剩2集未播出。由于已有過一天播出2集的情形，因此，這餘下的2集不能再單獨于一天播出，而隻好把它們分到以前的日子，通過改動某一天或某二天播出的集數，來解決這個問題。例如，各天播出的集數安排為1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

例2：

有面值為1分、2分、5分的硬币各4枚，用它們去支付2角3分。問：有多少種不同支付方法？

分析與解：要付2角3分錢，最多隻能使用4枚5分币。因為全部1分和2分币都用上時，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

當使用3枚5分币時，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有

23=15 （2 2 2 2），

23=15 （2 2 2 1 1），

23=15 （2 2 1 1 1 1），

共3種支付方法。

當使用4枚5分币時，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，從而可有

23=20 （2 1），

23=20 （1 1 1），

共2種支付方法。

總共有5種不同的支付方法。

例3：

把37拆成若幹個不同的質數之和，有多少種不同的拆法？将每一種拆法中所拆出的那些質數相乘，得到的乘積中，哪個最小？

解：37=3 5 29=2 5 7 23=3 11 23 =2 3 13 19=5 13 19=7 11 19=2 5 11 19=7 13 17=2 5 13 17

=2 7 11 17，共10種不同拆法，其中3×5×29=435最小。

說明：本題屬于迄今尚無普遍處理辦法的問題，隻是硬湊。比37小的最大質數是31，但37-31=6，6不能分拆為不同的質數之和，故不取；再下去比37小的質數是29，37-29=8，而8=3 5。其餘的分拆考慮與此類似。

例4：求滿足下列條件的最小自然數：它既可以表示為9個連續自然數之和，又可以表示為10個連續自然數之和，還可以表示為11個連續自然數之和。

解：9個連續自然數之和是其中第5個數的9倍，10個連續自然數之和是其中第5個數和第6個數之和的5倍，11個連續自然數之和是其中第6個數的11倍。這樣，可以表示為9個、10個、11個連續自然數之和的數必是5，9和11的倍數，故最小的這樣的數是［5，9，11］=495。

對495進行分拆可利用平均數，采取“以平均數為中心，向兩邊推進的方法”。例如，495÷10=49.5，則10個連續的自然數為 45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。

于是495=45 46 … 54。同理可得495=51 52 … 59=40 41 … 50。

例5：

若幹隻同樣的盒子排成一列，小聰把42個同樣的小球放在這些盒子裡然後外出，小明從每隻盒子裡取出一個小球，然後把這些小球再放到小球數最少的盒子裡去，再把盒子重排了一下。小聰回來，仔細查看，沒有發現有人動過小球和盒子。問：一共有多少隻盒子？

分析與解：

設原來小球數最少的盒子裡裝有a隻小球，現在增加到了b隻，由于小明沒有發現有人動過小球和盒子，這說明現在又有了一隻裝有a個小球的盒子，這隻盒子裡原來裝有（a 1）個小球。

同理，現在另有一個盒子裡裝有（a 1）個小球，這隻盒子裡原來裝有（a 2）個小球。

依此類推，原來還有一隻盒子裝有（a 3）個小球，（a 4）個小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數是一些連續整數。

現在這個問題就變成了：将42分拆成若幹個連續整數的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個加數？

因為42=6×7，故可将42看成7個6的和，又（7 5） （8 4） （9 3）是6個6，

從而42=3 4 5 6 7 8 9，一共有7個加數。

又因42=14×3，故可将42寫成13 14 15，一共有3個加數。

又因42=21×2，故可将42寫成9 10 11 12，一共有4個加數。

于是原題有三個解：一共有7隻盒子、4隻盒子或3隻盒子。

例6：

機器人從自然數1開始由小到大按如下規則進行染色：

凡能表示為兩個不同合數之和的自然數都染成紅色，不符合上述要求的自然數染成黃色（比如23可表示為兩個不同合數15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個不同合數之和，1染黃色）。問：被染成紅色的數由小到大數下去，第2000個數是多少？請說明理由。

解：顯然1要染黃色，2=1 1也要染黃色，

3=1 2，

4=1 3=2 2，

5=1 4=2 3，

6=1 5=2 4=3 3，

7=1 6=2 5=3 4，

8=1 7=2 6=3 5=4 4，

9=1 8=2 7=3 6=4 5，

11=1 10=2 9=3 8=4 7=5 6。

可見，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均應染黃色。

下面說明其它自然數n都要染紅色。

（1）當n為大于等于10的偶數時，n=2k=4 2（k-2）。由于n≥10，所以k≥5，k-2≥3，2（k-2）與4均為合數，且不相等。也就是說，大于等于10的偶數均能表示為兩個不同的合數之和，應染紅色。（1）當n為大于等于13的奇數時，

n=2k 1=9 2（k-4）。由于n≥13，所以k≥6，k-4≥2，2（k-4）與9均為合數，且不相等。也就是說，大于等于13的奇數均能表示為兩個不同的合數之和，應染紅色。

綜上所述，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11這10個數染黃色外，其餘自然數均染紅色，第k個染為紅色的數是第（k 10）個自然數（k≥2）。

所以第2000個染為紅色的數是2000 10=2010。

例7：

把12分拆成兩個自然數的和，再求出這兩個自然數的積，要使這個積最大，應該如何分拆？

分析與解：把12分拆成兩個自然數的和，當不考慮加數的順序時，有1 11，2 10，3 9，4 8，5 7，6 6六種方法。它們的乘積分别是1×11=11，2×10=20，3×9=27，4×8=32，5×7=35，6×6=36。

顯然，把12分拆成6 6時，有最大的積6×6=36。

例8：

把11分拆成兩個自然數的和，再求出這兩個自然數的積，要使這個積最大，應該如何分拆？

分析與解：把11分拆成兩個自然數的和，當不考慮加數的順序時，有1 10，2 9，3 8，4 7，5 6五種方法。它們的乘積分别是1×10=10，2×9=18，3×8=24， 4×7=28，5×6=30。

顯然，把11分拆成5 6時，有最大的積5×6=30。

說明：由上面的兩個例子可以看出，在自然數n的所有二項分拆中，當n是偶數2m時，以分成m m時乘積最大；當n是奇數2m 1時，以分成m （m 1）時乘積最大。換句話說，把自然數S（S＞1）分拆為兩個自然數m與n的和，使其積mn最大的條件是：m=n，或m=n 1。

在具體分拆時，當S為偶數時，

當S為奇數時，m、n分别為

例9：

試把1999分拆為8個自然數的和，使其乘積最大。

分析：反複使用上述結論，可知要使分拆成的8個自然數的乘積最大，必須使這8個數中的任意兩數相等或差數為1。

解：因為1999=8×249 7，由上述分析，拆法應是1個249，7個250，其乘積249×2507為最大。

說明：一般地，把自然數S=pq r（0≤r＜p，p與q是自然數）分拆為p個自然數的和，使其乘積M為最大，則M為qp-r×（q 1）r。