1687年，艾薩克·牛頓發表了他的《原理》，其中包含了運動和引力方程，它将我們看似飄忽不定的宇宙變成了一個可預測的機器。鑒于太陽系天體的當前位置和速度，牛頓方程原則上可用于計算它們的過去和未來。我在這裡加上了“原則上”是因為事情并沒有那麼簡單。

盡管牛頓引力方程很美，但它們隻在一種情況下為行星運動提供了一個簡單的解決方案：當且僅當隻有兩個物體在沒有其他引力的影響下相互繞行。如果再添加一個物體，那麼在大多數情況下，所有的運動都會從根本上變得混亂。這就是三體問題，它已經有300年的曆史了。

簡介

在《原理》出版之後，許多人為更複雜的系統尋求簡單的分析解決方案，下一步自然是三個引力體的系統。但是，即使是一個額外物體的影響，似乎也使得一個精确的方案變得不可能。三體問題成為許多偉大數學家的困擾，在1980年代後期，數學家恩斯特·布倫斯和亨利·龐加萊令人信服地斷言，不存在一般的解析解。

三體問題的實際情況是，幾乎所有起始構型的演化都受混沌動力學支配，未來狀态高度依賴于初始微小條件的變化。軌道趨向于狂野和不可預測的模式，幾乎不可避免地有一個天體最終從系統中彈出。盡管有明顯的絕望，但學習預測多體的運動還是有好處的。自牛頓以來的三個世紀的大部分時間裡，預測行星和月球的運動對于航海導航至關重要，現在它對太空旅行至關重要。

近似解

因為三體問題大部分沒有有用的解析解，所以我們可以嘗試尋找近似解。例如，如果物體相距足夠遠，那麼我們可以将多體系統近似為一系列二體系統。這就像我們太陽系的每顆行星都可以被認為是一個與太陽一起的二體系統，并導緻了一系列簡單的橢圓軌道，就像開普勒所預測的那樣。但由于行星之間的相互作用，這些軌道最終也會産生一些變化。

另一個有用的近似解是，當三個物體中的一個物體與其他兩個物體相比質量非常低時，我們可以忽略較小天體的微小引力影響，并假設它在其較大同伴的完全可解的二體軌道内移動。我們稱之為簡化的三體運動，它适用于地球周圍的人造衛星等微小物體，它也可以用來近似月球相對于地球和太陽的軌道，或地球相對于太陽和木星的軌道。這些近似解很有用，但還是無法完美預測。即使是最小的行星體也有一定的質量，而整個太陽系也有許多大質量的成分。在我們加入地球之前，太陽、木星和土星本身就自動成為一個沒有解析解的三體系統。

但沒有解析解并不意味着沒有任何解，要獲得對大多數三體系統的準确預測，我們需要将系統的運動分解為多個部分，任何引力軌迹的足夠小部分都可以用精确的解析解來近似。如果将問題分解為足夠小的路徑或時間步長，那麼系統中所有物體的小運動都可以逐步更新。這種一次一步求解微分方程的方法稱為數值積分，當應用于多體的運動時，它是一種N體模拟。

借助現代計算機，N體模拟可以準确預測行星在遙遠未來的運動，或求解數百萬個物體以模拟整個星系的形成和演化。這些數值解并不是從發明計算機開始的，在此之前這些計算必須由多人進行手工計算完成。

一些解析解

近似解的局限性、前計算機數值積分的費力以及三體問題的傳奇地位，激發了一代又一代的物理學家和數學家繼續尋求精确的解析解。在非常特殊的情況下，歐拉為圍繞共同質心運行的三個天體找到了一系列解決方案，其中所有天體都保持在一條直線上。拉格朗日找到了三個物體形成等邊三角形的解決方案。

事實上，對于任何兩個相互繞行的物體，歐拉和拉格朗日解定義了第三個物體的5個額外軌道，可以用簡單的方程來描述。這些是三體問題存在的唯一完美解析解決方案，在這5個軌道中任何一個放置一個低質量物體，它将無限期地停留在那裡。我們現在将這些點稱為拉格朗日點，它們是我們停放航天器的有用場所。

在歐拉和拉格朗日之後很久，人們并沒有進一步發現三體系統的完美解。在近現代，人們用計算機搜索可能軌道的廣闊空間，目的是要找到具有周期性運動的三體系統。在1970年代，Michel Henon和Roger Broucke找到了一系列解決方案，其中涉及兩個質量在第三個天體的軌道中心來回彈跳。在1990年代，Cris Moore發現了一個穩定的“8”字形軌道，其中三個天體具有相等的質量。随後數學家從數學上證明了8字解的存在，這也導緻了發現新的周期性三體軌道的熱潮。

現在已知有數百個穩定的三體軌道，但除了歐拉和拉格朗日解之外，這些都不太可能在自然界中發生。

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來源：萬象經驗

原标題：三體問題的多種解決方案

編輯：雲開葉落