複數(Complex)作為實數的拓展曆史悠久, 一度曾被叫做不可能的數字(“子虛烏有的數”), 直到十八世紀初經過棣莫弗及歐拉大力推動, 才被數學家們漸漸接受.

确實理解複數确實需要一點時間, 不過它并不複雜, 而且利用它還能畫出非常美麗的變換和分形圖形, 這次讓我們用圖形的方式來認識這個概念.

先來它怎麼是實數延伸呢? 來把目光聚焦在實數軸上看看兩個數字之間加減乘除這 4 種運算. 觀察到紅藍兩個點(數), 在不同的計算下, 其結果綠點也随之移動, 總還落在數軸上. (除法分母為 0 時候, 當然無意義)

數學家進一步思考, 既然對于實數(比如 1)乘以 -1 是轉動 180°, 那麼隻轉動了 90°, 結果會落在哪裡? 會不會有什麼意義呢?

後來挪威測量學家韋塞爾考慮到數 1 轉動兩次 90° 會剛好到 -1 ( 1*i*i ). 所以認為 -1 的平方根是相應于 1 的一個 90度的旋轉, 是虛數單位, 成為之 i . 于是有着性質:

這個沒在實數軸上奇怪的點實際上落在複數平面(complex plane)上了, 所有在複平面上的數都滿足 z=a b i 這樣的結構, 稱之為複數. 其中 a 稱為實部(real part), b 為虛部(imaginary part).

直角坐标平面是二維的, 需要兩個數 (x,y) 來描述任意一點的位置, 但現在隻用一個複數就夠了, 可以用實數組 (a,b) 代表這個複數 a b i, 并且可以在複平面上繪制出來. 這裡還有三個新概念需要知曉:

• 複數的模(modulus, 通常寫為 |z|)

• 輻角(argument, 通常寫為 arg(z))

• 複數的共轭(conjugate,通常寫為下面形式)

複數的模就是它長度 r - 原點和 z 點之間的距離. 輻角 φ 就是與實軸的夾角, 共轭就是 a-b i 的形式. 觀察下圖可以更好理解:

下來看看複數是如何進行加減乘除運算, 比如可以兩兩相加, 也就是兩個複數實部和虛部分别對應相加, 可以看成是平移.

複數也可以有數乘運算(放大縮小):

複數的乘法, 如果隻乘以 i 相當于這個複數轉動四分之一圈:

z1*z2 兩個複數相乘其實就是旋轉 伸縮, 相等于兩個複數的模相乘(伸縮大小), 輻角相加(旋轉量).

如果對圖片中的每一點做複數運算的變換, 可以得到各種有趣的平面變換圖像. 這裡為了紀念歐拉大神310年誕辰, 就以他老人家頭像為例, 比如做乘以 2 i 的函數變換 - 旋轉 90°, 同時放大了2倍：

變換函數為三次方, 考慮為什麼會變成這個形狀呢? :-)　

上面就是制作的圖解數學知識點中複數的案例. 好了, 現在讓我們在下一篇的中來看一看其他高中數學相關概念的動圖.

因為本人水平有限, 疏忽錯誤在所難免, 所以還請各位老師和朋友不吝賜教, 多提寶貴意見, 幫助我改進這個系列. 感謝關注! Thanks!

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