前面我們已經講過第一次數學危機和第二次數學危機，其中第一次數學危機是由無理數引發的實數危機；第二次數學危機，則是一場由無窮小量引發的，關于微積分的存在基礎是否堅實的危機。

這兩次危機最後都得到了圓滿的解決，兩次危機都大大提高了人類的數學認知水平，人類也因此受益無窮。今天，我們就講一下第三次數學危機，這次數學危機到現在也沒有被徹底解決。

關于第三次數學危機，要從數學家羅素的一個悖論開始講起。悖論不是謬論，悖論是怎麼說都對，但卻不是錯的。羅素提出的這個悖論就很有趣，叫做理發師悖論：

有一個小鎮，鎮上有一個理發師。有一天，他貼了一張牌子到理發店門口，上面寫着：本人的理發技藝十分高超，譽滿全城。我将為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也隻給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！理解起來很簡單，就是如果你給自己刮胡子，那理發師就不給你刮胡子，如果你不給自己刮胡子，那理發師就給你刮胡子。

這時候有趣的問題就出現了：這個理發師應不應該給自己刮胡子呢？

如果他給自己刮胡子，那他就是一個給自己刮胡子的人，那他就不應該給自己刮胡子。

如果他不給自己刮胡子，那他就是一個不給自己刮胡子的人，那他就應該給自己刮胡子。

這個悖論看上去繞，但是邏輯并不複雜。那羅素作為一個厲害的數學家，為啥要給自己提這麼奇怪的一個問題？不知道大家是否還記得康托爾這個人，第二次數學危機被平息，這位數學家就有很大的功勞。羅素提出這個悖論就是為了诘難這位德國數學家康托爾。

康托爾提出了一個很著名的“集合論”。集合這個概念大家不陌生，高中一年級數學就教這個，集合也被認為是現代數學的基礎。集合論研究到深處，是非常複雜的，因此被人們稱為“人類純智力活動的最高成就”。

1900年國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“……借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”。這一發現使數學家們為之陶醉。

集合論确實很牛，但是康托爾在提出不久後，自己就發現了一個“瑕疵”。但是為名所累，他自己就沒說這個瑕疵，好像以為他自己不說别人就不會發現。可惜才過了3年，也就是1903年的時候，羅素很快就發現了這個瑕疵，就跑過去問康托爾。

為了理解這個瑕疵，我們需要先複習一下集合的相關知識。集合有三個特點：

确定性：對一個集合而言，裡面每一個元素都必須是确定的。

互異性：對一個集合而言，裡面任意兩個元素都不能相同。

無序性：對一個集合而言，裡面的元素沒有排列順序。

比如對集合A={1,2,3}而言，它有三個元素，分别是1、2、3。對集合B={x|x是偶數}而言，所有的偶數就是這個集合的元素。當然，有些概念不能組成集合，比如所有的帥哥就不能構成集合，因為帥是主觀的，有人覺得帥，有人可能覺得他醜，不具有确定性。但是所有的男人能組成集合，因為男人這個概念是确定的。

集合裡有幾種關系，其中一種叫“屬于”或“不屬于”。比如對集合A和B來說：

元素1屬于A，不屬于B，記作1∈A，1∉B。

元素2屬于A和B，記作2∈A，2∈B。

了解了這些基本知識，我們再回到羅素提出的瑕疵上。羅素的理發師悖論就是想告訴康托爾，集合論面臨着一個嚴重的自相矛盾的問題：

比如我可以定義一個集合C={x|x∉C}，這個集合的意思是——所有的集合組成的集合C，集合x不屬于集合C，通俗的來說就是“所有不屬于自身的集合的集合”。這時候問題就出現了，集合C數不屬于自身呢？

如果集合C∈C，那麼集合C就不滿足定義，那麼集合C∉C。

如果集合C∉C，那麼集合C就滿足定義，那麼集合C∈C。

這就出現了矛盾，正也不是，反也不是，看着覺得繞口的朋友可以慢慢體會。

這個矛盾就是集合論的“瑕疵”，這個瑕疵到目前為止，雖然有了一些“緩兵之計”，但是到現在，依舊沒有一個完美的解決方案，因此被稱為第三次數學危機。

羅素大神提出了這個悖論，但是他自己解決不了；康托爾作為集合論的提出者，也解決不了這個問題，因此一次次被羅素诘難，十分悲催。到最後，康托爾竟然直接把自己逼瘋了，最後死在了哈勒大學的精神病醫院裡。

如果說前兩次數學危機隻是影響了數學大廈的建設，那麼第三次數學危機則影響了數學大廈的地基。整個數學界，邏輯學界和哲學界都感到了問題的嚴重性。當然，凡是有弊必有利。

第三次數學危機的爆發，對數學的發展起到了巨大的作用。它不但促進了數學基礎理論的研究，還推動了數理邏輯的發展，更重要的是：促進了哥德爾不完全性定理的誕生。接下來的文章，小編将介紹這個哥德爾定理的内容和影響，以及它是如何改變世界的。

這就是三次數學危機，每一次都引發了嚴重的後果，但是每一次都為數學的發展提供了新的食糧。一次次危機就像一個個聚寶盆，為人類的發展帶來了新的發展，新的内容，新的思想，新的變革，甚至新的革命。

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