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數學思維數三角小技巧
數學思維數三角小技巧
更新时间:2025-04-08 15:01:44

等腰三角形中的頂角平分線、底邊上的高線、底邊上的中線,隻要知道其中“一線”,就可以說明是其它“兩線”。

運用等腰三角形“三線合一”的性質證明角相等、線段相等或垂直關系,可減少證全等的次數,簡化解題過程。

一、直接運用

例題1、如圖所示,房屋頂角 ∠BAC = 100°,過屋頂 A 的立柱 AD⊥BC,屋檐 AB = AC 。

求頂架上的 ∠B,∠C ,∠BAD 和 ∠CAD 的度數 。

數學思維數三角小技巧(八年級數學三角形中)1

例題1圖

解:

∵ 在 △ABC 中 AB = AC , ∠BAC = 100° , AD⊥BC

∴ ∠B = ∠C = 1/2 (180° - ∠BAC)= 40°

∴ ∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC = 50°

例題2、如圖所示,在 △ABC 中, AB = AC , AD = DB ,DE⊥AB 于點 E ,若 BC = 10 ,且 △BDC 的周長為 24 。

求 AE 的長 。

數學思維數三角小技巧(八年級數學三角形中)2

例題2圖

解:

∵ △BDC 的周長為 24 ,BC = 10

∴ BD CD = 14

∵ AD = BD

∴ AC = AD CD = BD CD = 14

又 ∵ AB = AC

∴ AB = 14

又 ∵ AD = DB , DE⊥AB

∴ AE = EB = 1/2 AB = 7

例題3、如圖所示,在 △ABC 中 ,AB = AC , AD⊥BC 于點 D ,BE⊥AC 于點 E ,AD 和 BE 相交于點 H ,且 BE = AE 。

求證:AH = 2BD 。

數學思維數三角小技巧(八年級數學三角形中)3

例題3圖

證明:

∵ AD⊥BC , BE⊥AC

∴ ∠AEH = ∠BEC = ∠ADB = 90°

∴ ∠EBC ∠BHD = 90° , ∠EAH ∠AHE = 90°

∵ ∠BHD = ∠AHE

∴ ∠EBC = ∠EAH

∵ BE = AE

∴ △AHE ≌ △BCE

∴ AH = BC

又 ∵ AB = AC , AD⊥BC

∴ BC = 2BD

∴ AH = 2BD

二、添加“輔助線”運用

例題4、如圖所示,在等邊 △ABC 中 ,D 是 AC 的中點 ,E 是 BC 的延長線上的一點,且 CE = CD ,DM⊥BC 于點 M 。

求證: M 是 BE 的中點 。

數學思維數三角小技巧(八年級數學三角形中)4

例題4圖

證明:連接 BD

∵ 在等邊 △ABC 中 , D 是 AC 的中點

∴ ∠DBC = 1/2 ∠ABC = 1/2 × 60° = 30° ,∠ACB = 60°

∵ CE = CD ∴ ∠CDE = ∠E

∵ ∠ACB = ∠CDE ∠E

∴ ∠E = 1/2 ∠ACB = 30°

∴ ∠DBC = ∠E = 30°

∴ BD = DE ∴ △BDE 為等腰三角形

又 ∵ DM⊥BC

∴ M 是 BE 的中點

三、構造運用

例題5、如圖所示,在 △ABC 中 , AC = 2AB ,AD 平分 ∠BAC ,E 是 AD 上一點 ,且 EA = EC 。

求證:EB⊥AB 。

數學思維數三角小技巧(八年級數學三角形中)5

例題5圖

證明:過點 E 作 EF⊥AC 于點 F

∵ EA = EC ∴ AF = 1/2 AC

又 ∵ AC = 2AB ∴ AF = AB

∵ AD 平分 ∠BAC ∴ ∠FAE = ∠BAE

又 ∵ AE = AE ∴ △AEF ≌ △AEB (SAS)

∴ ∠ABE = ∠AFE = 90° , 即 BE⊥AB 。

例題6、如圖所示,已知在等腰直角 △ABC 中, AB = AC ,∠BAC = 90° ,BF 平分 ∠ABC ,CD⊥BD 交 BF 的延長線于點 D 。

求證:BF = 2CD 。

數學思維數三角小技巧(八年級數學三角形中)6

例題6圖

證明:延長 BA , CD 交于點 E

∵ BF 平分 ∠ABC , CD⊥BD

∴ ∠EBD = ∠CBD ,∠BDE = ∠BDC = 90°

又 ∵ BD = BD

∴ △BDC ≌ △BDE

∴ BC = BE

又 ∵ BD⊥CE , ∴ CE = 2CD

∵ ∠BAC = 90° , ∠BDC = 90° , ∠AFB = ∠DFC

∴ ∠ABF = ∠DCF

又 ∵ AB = AC , ∠BAF = ∠CAE = 90°

∴ △ABF ≌ △ACE (ASA)

∴ BF = CE

∴ BF = 2CD

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