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I.定義與定義表達式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系:y=ax² bx c
(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大)則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式:y=ax² bx c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)² k[抛物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x₁)(x-x₂)[僅限于與x軸有交點A(x₁,0)和B(x₂,0)的抛物線]
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a
x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
IV.抛物線的性質
1.抛物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。
對稱軸與抛物線唯一的交點為抛物線的頂點P。特别地,當b=0時,抛物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.抛物線有一個頂點P,坐标為:P(-b/2a,(4ac-b²)/4a)當-b/2a=0時,
P在y軸上;當Δ=b²-4ac=0時,P在x軸上。
3.二次項系數a決定抛物線的開口方向和大小。
當a>0時,抛物線向上開口;當a<0時,抛物線向下開口。|a|越大,則抛物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同号時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異号時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定抛物線與y軸交點。
抛物線與y軸交于(0,c)
6.抛物線與x軸交點個數
Δ=b²-4ac>0時,抛物線與x軸有2個交點。
Δ=b²-4ac=0時,抛物線與x軸有1個交點。
Δ=b²-4ac<0時,抛物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b²-4ac的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)
V.二次函數與一元二次方程
特别地,二次函數(以下稱函數)y=ax² bx c,
當y=0時,二次函數為關于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax² bx c=0
此時,函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫坐标即為方程的根。
1.二次函數y=ax²,y=a(x-h)²,y=a(x-h)² k,y=ax² bx c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,隻是位置不同,它們的頂點坐标及對稱軸如下表:
當h>0時,y=a(x-h)²的圖象可由抛物線y=ax²向右平行移動h個單位得到,
當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時,将抛物線y=ax²向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)² k的圖象;
當h>0,k<0時,将抛物線y=ax²向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)² k的圖象;
當h<0,k>0時,将抛物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)² k的圖象;
當h<0,k<0時,将抛物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)² k的圖象;
因此,研究抛物線y=ax² bx c(a≠0)的圖象,通過配方,将一般式化為y=a(x-h)² k的形式,可确定其頂點坐标、對稱軸,抛物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。
2.抛物線y=ax² bx c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐标是(-b/2a,[4ac-b²]/4a).
3.抛物線y=ax² bx c(a≠0),若a>0,當x≤-b/2a時,y随x的增大而減小;當x≥-b/2a時,y随x的增大而增大.若a<0,當x≤-b/2a時,y随x的增大而增大;當x≥-b/2a時,y随x的增大而減小.
4.抛物線y=ax² bx c的圖象與坐标軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點坐标為(0,c);
(2)當△=b²-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax² bx c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x₂-x₁|
當△=0.圖象與x軸隻有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
5.抛物線y=ax² bx c的最值:如果a>0(a<0),則當x=-b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b²)/4a.
頂點的橫坐标,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐标,是最值的取值.
6.用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般式:
y=ax² bx c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐标或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)² k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐标時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現。
例題
本題作為一個閱讀理解型題目,比較新穎,下面展示的答案是以“代數為突破口”,主要建立一次函數解析式,讀者可自行嘗試以幾何為突破口,建立A字形或8字形,列比例線段獲知所需結論,計算更為簡易。