老黃為高數付出了無比的熱情。這是一道與導數和極限、介值定理包括拉格朗日中值定理或羅爾中值定理等知識有關的高數解答題。老黃會為大家講解教材的解法，并分享老黃自創的解法。希望大家能從中領會其中的解法思路，并對你有所幫助。

證明：設f在R上二階可導，若f在R上有界，則存在ξ∈R，使f”(ξ)=0.

相信大家還是比較願意先了解一下教材的解法吧。

證1：若f”(x)變号，則由導數的介值性知，存在ξ∈R，使得f”(ξ)=0. 【先确定這種情形是符合的。導數的介值性定理又稱為“達布定理”，是《老黃學高數》系列視頻第142講所分享的内容。連續函數的介值定理，則當介值為0時，其實就是零點的存在性定理】

若f”(x)不變号，不妨設f”(x)>0, 則f’(x)單調增, 【f"(x)<0時，與下面的證明過程類似】

取x0使f’(x0)>0, 則當x>x0時，存在η1∈(x0,x)，使【雖然未必有f'(x0)>0，但不要着急，下面會分析f'(x0)<0的情形】

f(x)=f(x0) f’(η1)(x-x0)>f(x0) f’(x0)(x-x0)→ ∞(x→ ∞)，【前面的等式是拉格朗日中值定理的應用，後面的不等式是因為f'(x)單調增，所以f'(η1)>f'(x0)。最後的函數是過一、三象限的一次函數，所以當x趨于正無窮時，f(x)也趨于正無窮，那麼函數就沒有上界】

若f’(x0)<0，則當x<x0時，存在η2∈(x,x0)，使【這就開始分析f'(x0)<0的情形了，注意，此時所取區間與上一種情形在形式上是相反的。兩種情形必有其一】

f(x)=f(x0) f’(η2)(x-x0)>f(x0) f’(x0)(x-x0)→ ∞(x→-∞)，【前面的等式仍運用的是拉格朗日中值定理，後面的不等式是因為f'(x)單調減，所以f'(η1)>f'(x0)。最後的函數是過二、四象限的一次函數，所以當x趨于負無窮時，f(x)趨于正無窮，函數仍沒有上界】

結論與題設f在R上有界矛盾. 【兩種情形都與函數有界矛盾，所以f"(x)必變号。回到一開始假設的第一種情況，它卻是必然的】

∴存在ξ∈R，使f”(ξ)=0. 得證！

接下來分享老黃自創的方法。高數題若不能用自創的方法求解，就不算已經學會并理解了哦。

證2：依題意，lim( x→∞)f(x), lim( x→∞)f’(x) 都存在, 【可導，所以連續，因此兩者都存在。如果lim( x→∞)f’(x)趨于無窮，f就無界。在老黃的上一個作品中，證明過，這兩個極限存在時，有下面的結論】

∴lim( x→∞)f’(x)=0.

若f’(x)≡0, 則f”(x)≡0，得證!【和證法1類似的，先分析一種特殊的情形。與證法1不同的是，證法1中的特殊情形其實是必然的。而這個特殊情形的确就真的隻是一種特殊情形而已】

若存在點x0, 使得f’(x0)≠0, 不妨設y0=f’(x0)>0. 【y0<0時，與下面的證明過程類似】

則對任意0<r<y0 , 必存在a<y0<b, 由連續函數的介值定理，【其實也是極限的保不等式性決定的，不過極限的保不等式一般習慣上認為隻是在極小的鄰域上研究的，即是一個相對微觀的概念，而介值性定理則相對比較宏觀】

有ξ1∈(-∞, a), ξ2∈(b, ∞), 使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=r, 由羅爾中值定理知,

至少存在一點ξ∈(ξ1, ξ2)⊂R, 使得f”(ξ)=0. 得證！

那你能不能也寫一個自己的證法呢？