話題：#數學# #微分幾何# #曲面論#

小石頭/編

将 三維曲線 r(t) = (x(t), y(t), z(t)) 中的參數 t ∈ ℝ 升級為 t=(u, v) ∈ ℝ² 就得到了曲面 ，

r(t) = r(u, v) = (x(t), y(t), z(t))= (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

再把 任意二維曲線 ω(t) = (u(t), v(t))，通過 t = ω(t) 帶入曲面，則得到曲面内的一條曲線，

r(t) = r(ω(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))

于是，對于 曲面 r(u, v) 上任意一點 P，根據 曲面在P點處的微分定義：

知，曲面内 過 P點 的 曲線 r(t) 在 P點處的微分就是，

dr(t) = rᵤdu rᵥdv

du = u'(t)dt，dv= v'(t)dt

進而有，

r'(t) = dr(t)/dt = rᵤdu/dt rᵥdv/dt ①

這裡的 r'(t) 是 曲線 r(t) 在 P 點處 的 切向量，同時也是 曲面 r(u, v) 在 P 點的 切向量。

考慮，曲面 在 P 點 處 的 所有切向量， 不妨設 P=r(u₀, v₀)，則 分别取 ω₁(u) = (u, v₀) 和 ω₂(v) = (u₀, v) 則 可得到 曲面内 過 P 點的兩條特殊曲線，

• u-曲線：r(u) = r(ω₁(u)) = r(u, v₀)；
• v-曲線：r(v) = r(ω₂(v)) = r(u₀, v) ；

對于它們有，

r'(u) = rᵤdu/du rᵥdv₀/du = rᵤ

r'(v) = rᵤdu₀/dv rᵥdv/dv = rᵥ

這說明 rᵤ 和 rᵥ 分别是 u-曲線 和 v-曲線 的 切向量，故也是 曲面在 P 點的 切向量。

我們要求，

• rᵤ 和 rᵥ 線性無關；

于是 ① 表明，任何 曲面在 P 點的 切向量 都可以 被 rᵤ 和 rᵥ 線性表示，故 這些切向量的全體 是一個 二維向量空間， rᵤ 和 rᵥ 是該空間的 基。 rᵤ 和 rᵥ 與 P 點 構成 一個 平面坐标系（不一定是直角），其确定的平面 被稱為 切平面 。

又令，

N = rᵤ × rᵥ， n = N/|N|

分别 被稱為 曲面 在 P 點 的 法向量 和 單位法向量 ，它們所在直線 稱為 法線 垂直于 切平面。

設 Q 是 曲面 r(u, v) 上 P 點 附近的 另外一點，考慮如下 兩個問題，

• 求 曲面内 P 和 Q 之間 的 弧長 σ；
• 求 Q 到 P 點的 切平面 距離 ρ；

問題 1：

對于 任意 過 P 和 Q 點的 曲面内 曲線 r(t) ，我們利用 正篇開始的 結論，有，

(ds)² = dr∙dr = (rᵤdu rᵥdv) ∙ (rᵤdu rᵥdv) = rᵤ∙rᵤ (du)² 2rᵤ∙rᵥ dudv rᵥ∙rᵥ (dv)²

于是，記，

并且，不妨設 P = r(t₀)， Q = r(t₁)，則有，

σ = ∫t₀ᵗ¹ √Ⅰ = ∫t₀ᵗ¹ √[E(du)² 2Fdudv G(dv)²] = ∫t₀ᵗ¹ √[E(u'(t)dt)² 2F u'(t)dt v'(t)dt G(v'(t)dt)²] = ∫t₀ᵗ¹ √[Eu'(t)² 2F u'(t)v'(t) Gv'(t)²] dt

稱Ⅰ為 曲面的 第一基本形式。

問題 2：

顯然 ρ 是 向量 PQ 在 n 上的投影，而 任取 曲面内 過 P 和 Q 點 的 曲線 r(s) ，s 是自然參數，不妨設 P = r(s)，Q=r(s Δs)，則根據 泰勒公式 有，

PQ = r'(s Δs) - r'(s) = r'(s) Δs r''(s) (Δs)²/2 o( (Δs)²)

又 注意到，

r' ⊥ n ⇒ r'∙n =0

于是，

ρ = PQ∙n = (r'(s) Δs r''(s) (Δs)²/2 o)∙n = r''(s) ∙n (Δs)²/2 o( (Δs)²)∙n

考慮到 Q 在 P 點附近，有 o → 0， Δs = ds，進而，

ρ ≈ r''∙n (ds)²/2 = d²r/(ds)²∙n (ds)²/2 = n∙d²r/2

再有，

d²r= d(rᵤdu rᵥdv) = d(rᵤdu) d(rᵥdv) = drᵤdu rᵤd²u drᵥdv rᵥd²v = (rᵤᵤdu rᵤᵥdv)du rᵤd²u (rᵥᵤdu rᵥᵥdv)dv rᵥd²v = rᵤᵤ(du)² 2rᵤᵥdudv rᵥᵥ(dv)² rᵤd²u rᵥd²v

因，

rᵤ, rᵥ⊥ n ⇒ rᵤ∙n = rᵥ∙n =0

故，

n∙d²r = n∙(rᵤᵤ(u')² 2rᵤᵥu'v' rᵥᵥ(v')² rᵤu'' rᵥv'')∙n = n∙rᵤᵤ(u')² 2n∙rᵤᵥu'v' n∙rᵥᵥ(v')²

于是，記，

則有，

ρ ≈ Ⅱ/2

稱 Ⅱ為 曲面的 第二基本形式。

分别 稱 P點處的 法線 和 切線 的方向為 曲面 r(u, v) 在 P 點的 法方向 和 切方向。

顯然，同一條 切線上的 所有 切向量 确定 同一切方向，又 對于曲面内曲線 r(t) = r(ω(t))，由 ① 有，

r'(t) = rᵤdu/dt rᵥdv/dt = dv/dt (rᵤdu/dv rᵥ)

而，我們知道，

• 向量數乘後要麼同方要麼反向，向量始終保持在一條直線上；

所以 上式說明，每個 切方向 由 比例 du:dv 唯一給出。

不放設 T = (u₀, v₀)， P=r(T) ，于是有，

du:dv = (u'(t)dt):(v'(t) dt)=u'(t):v'(t)

而 ω'(t) = (u'(t), v'(t))， 這說明 du:dv 由 ω 在 ℝ² 内的 Q 點處的 切向量 ω'(t) 決定。 又取 ω(v) = (u(v), v)，則，du:dv = u'(v) ，進而令 u(v) = kv，則 du:dv = k，這說明 ℝ² 中的每條 過 T 點的 直線 決定 曲面的 一條 過 P 點的 切方向。

考慮 曲面内 曲線 r(t) 在 P 點處的 Frenet 标架。

α 顯然屬于 切平面，于是 α ⊥ n ，而且 α 還 确定一個 切方向 du:dv。

曲率 κ 表示的是 曲線 r(t) 向 β 方向的 彎曲 程度，而 β 可以是垂直 α 的任意方向，于是 κ 在 法線方向 和 切平面 上就會産生 兩個 投影，分别記為 κn 和 κg；顯然有，

κn = kβ∙n

稱 κn 為 法曲率；而令 ε = α × n 則有，

κg = kβ∙ε

稱 κg 為 測地曲率。

讓曲線 r(t) 切換為自然參數 r(s)，則 kβ = r''，于是，

Ⅱ/Ⅰ= r''∙n (ds)² / (ds)² = r''∙n = kβ∙n = κn

進而，

κn = Ⅱ/Ⅰ= [L(du)² 2Mdudv N(dv)²]/[E(du)² 2Fdudv G(dv)²] = [L(du/dv)² 2Mdu/dv N]/[E(du/dv)² 2Fdu/dv G]

可見 κn 完全由 du:dv 和 具體曲線 r(t) 的選取無關，也就是說：

• 法曲率 表征的 是 曲面 在 P 點處 沿着 du:dv 切方向 的 彎曲程度，和 曲面内的 曲線無關。

不難看出：

• 當 κn > 0 時，曲面向 n 的正方向 彎曲；
• 當 κn < 0 時，曲面向 n 的反方向 彎曲；
• 當 κn = 0 時，曲面是平面；

稱 由 P 點處的 法方向 和 任意 切方向 确定的 平面 為 法截面，法截面 和 曲面 的交線 稱為 法截線。法截線 是 法截面 内 平面曲線，故 β 在 法截面，即，β 和 n 共面，而 β，n ⊥ α，于是 β ∥ n， 故 κn = ±k；而 κg = 0，可見 法截線 在曲面内 是 直線。

我們知道 曲率的倒數 稱為 曲率半徑，對于曲線來說，我們 通過曲率半徑 在 P 點的 密切平面 内 可以構造一個 曲率圓，它形象的表示了 曲線 在 P 點處的 彎曲 程度，那麼對于 曲面，法曲率半徑 又能構造什麼呢？

曲面 r(u, v) 在 P 點的 切平面 内，以 P 為原點，以 rᵤ 和 rᵥ 為坐标軸，構成一個坐标系，于是 dr = rᵤdu rᵥdv 就是以 P 為起點，以(du, dv) 為終點的 切向量，以其為方向，以 切方向 du:dv 對應的 法曲率半徑 的絕對值方根（即， √|1/κn|）為長度，可确定 一個 線段 PN。

設 N點的坐标是 (x, y)，則N點的軌迹，滿足方程：

xrᵤ yrᵥ = √|1/κn| dr/|dr|

方程兩邊同時自點乘，有，

x²rᵤ∙rᵤ 2xyrᵤ∙rᵥ y²rᵥ∙rᵥ = (xrᵤ yrᵥ)∙(xrᵤ yrᵥ) = (√|1/κn| dr/|dr|)∙ (√|1/κn| dr/|dr|) = |1/κn|(dr∙dr/|dr|²) = |1/κn| |dr|²/|dr|² = |1/κn|

又由 κn = Ⅱ/Ⅰ，Ⅰ=(ds)² ≥ 0，以及 Ⅰ 和 Ⅱ 的定義，有，

Ex² 2Fxy Gy² = |Ⅰ/Ⅱ| = Ⅰ/|Ⅱ| = [E(du)² 2Fdudv G(dv)²]/|L(du)² 2Mdudv N(dv)²|

而 du:dv = x:y，故，

Ex² 2Fxy Gy² = [Ex² 2Fxy Gy²]/|Lx² 2Mxy Ny²|

進而，

|Lx² 2Mxy Ny²| = 1

即，

Lx² 2Mxy Ny² = ±1

這說明 N 點的軌迹 是 一個 二次曲線，稱其為 Dupin指标線。根據 《解析幾何》知識知，

• 根據 判别式 Δ = LN-M²，Dupin指标線 可以是：

◎ 一個橢圓（Δ ＞ 0）

◎ 兩個相互共轭的雙曲線（Δ ＜ 0）

◎ 兩條平行線（Δ = 0）

◎ 平點（注：平面上的所有點都是平點）（L=M=N=0）

還知，

• 對于二次曲線，過中心點的弦稱為直徑， 可以證明：與某直徑平行的所有弦 的中點 的軌迹 是 另外一條直徑，後者稱為前者的 共轭直徑。稱 與自己的共轭直徑垂直的 直徑 為 主直徑，可以證明：直徑 與其共轭 直徑 相互 共轭，而垂直也是相互的，因此 主直徑 的共轭（垂直）直徑 也是 主直徑。

當 P 點的 切方向 不是 二次曲線的 漸近線 時，其 必然對應 一個 直徑，稱 相應直徑 相互 共轭的 兩個 切方向 為 相互共轭，進而 稱 相互 共轭并且垂直 兩個切方向 為 曲面 在 P 點的 兩個主方向，可以證明：

• 二次曲線有兩個主直徑，分别 是 所有 直徑 中是 最長的 和 最短的；

類似地，可證明：

• 兩個 主方向 對應的 法曲率 κ₁ 和 κ₂ 分别是 所有 法曲率 中的 最大值 和 最小值；

稱 κ₁ 和 κ₂ 為 主曲率，兩個主曲率的乘積 為 高斯曲率，記為 K = κ₁κ₂ 。

（《曲面論》 有點長 這裡 分個 P，下接 續二。）

（由于，本篇最後 和 下篇 開始，會 重度 使用 《圓錐曲線論》 的知識，于是考慮 有時間 對這方面 進行一下科普。）