先别反駁我，聽我講個故事：有個人向他的朋友叙述出去探險的奇怪經曆，他找一個絕好的地方，搭了個帳篷後就出動了。他先往北走3公裡，接下來往東走了3公裡，饑寒交迫就準備回休息點，又向南走3公裡，正好回到出發點的帳篷。朋友說他吹牛，給他畫了一個示意圖，這樣走是不可能走回出發點的，他卻堅持說沒有撒謊。他的朋友深思了一會，相信他，并祝福了他。你相信他嗎？

　　他這次是去南極探險，而他搭帳篷的地點正好是南極點。因此他向北、往東、往南三次是可以回到原來的起點的，他走的路線正好構成每條邊為3公裡的三角形。我們來看看這個三角形，把起點記為O，另外兩次轉向的點分别記為A、B，A點由正北轉向正東，是直角，B點由正東轉向正南，也是直角，不管角O是多少度，這此三角形的内角和大于兩直角。

南極附近經緯線

　　這不是詭辯，而是我們生活在球面上。我們中學所學的平面幾何建立在地球上理論上并不存在的平面上，在上帝的視角，真正适用于地球曲面上的幾何是黎曼幾何。

　　我們中學所學的平面幾何，又稱歐氏幾何，是在5個公理的基礎上邏輯演繹而得。這5個公理的前4條（任意一點到另外任意一點可以畫直線、一條有限線段可以繼續延長、以任意點為心及任意的距離可以畫圓、凡直角都彼此相等）确實看起來确實顯然，而第五條（過直線外一點，能且隻能做一條直線與已經直線平行）看起來就不如前4條那麼顯而易見了。歐幾裡德後的幾千年時間裡，無數的數學家嘗試通過前4條來證明得到第5條而不得。有些數學家就嘗試用反證法：我假設過直線外一點可以作不止一條直線與已知直線平行，是不是能推出一些矛盾，結果發現邏輯上一點問題也沒有，十九世紀，羅巴切夫斯基由此創立羅氏幾何。裡面的一些“奇談怪論”諸如：過直線外一點可以作無數條平行線，三角形内角和小于兩直角等“謬論”深深刺激了數學界，當時已經貴為喀山大學校長的他受到無數的攻擊。就是當時的數學泰鬥高斯，其實在他之前已經有這方面的研究成果，因為害怕激起學術界的不滿和社會的反地，不敢公開自己在這方面的研究成果，更不敢出來為他說句話，羅巴切夫斯基後面被免了喀山大學校長一職，郁郁而終。

　　但還有不怕死的後來者，那就是黎曼。他從第五公理的另外一個角度出發：過直線外一點不能做直線的平行線！他在這公理的基礎上進行邏輯推導，也建立了一套邏輯上完全沒有問題的幾何公理體系，當然也有一些看起來非常奇怪的“謬論”：直線可以無限延長，但總長度是有限的；三角形内角和大于兩個直角等。

歐氏幾何、黎曼幾何、羅氏幾何空間

　　黎曼系統完善的非歐幾何在60年後才發現它的巨大應用。1905年愛因斯坦發現了狹義相對論，在此之後，為了把引力場幾何化，将引力場與時空結構聯結起來，愛因斯坦開始建立廣義相對論。他需要尋求一種可以描述廣義相對論的幾何結構，但對于數學他并不像物理那樣有深入了解，幸運的是他擁有一位數學家朋友，從朋友處愛因斯坦得知，自己打開廣義相對論大門的鑰匙竟然在60多年前就已經由黎曼創造。愛因斯坦經過兩年多鑽研黎曼幾何，由此發表了廣義相對論，以及質能公式E＝ｍｃ＾２。

　　因為黎曼幾何正是描述在曲面上的物理形态，正是大尺度宇宙或者微觀世界的時空形态，霍金有本書就叫《果殼中的宇宙》。怎麼理解黎曼幾何在球面上的模型呢，可以把直線相當于球面上的赤道線，赤道外的任一點作一個大圓（半徑為地球半徑的圓），都會與赤道圓相交，相當于黎曼幾何中直線外任一點不存在與直線平行的直線。羅氏幾何空間的現實模型相當于上圖上的馬鞍形曲線，直線相當于截面曲線，過直線外一點還是可以作無數個截圖與曲線不相交的。

　　回到最前面的問題，理論上我們在地球上畫的線你認為再直，因為地球是一個球體，也是沿球面有個弧度的，在宏觀上是在曲面上，因此地球面上的三角形内角和都大于兩個直角。在我平常生活的尺度上，我們還是以歐氏幾何的平面上進行，但在航天航空的尺度上，就需要按照黎曼幾何的曲面空間理論進行運算了。