題目：

半圓半徑為5，求兩個不等正方形面積之和

知識點回顧：

1. 兩組對邊分别平行；四條邊都相等；鄰邊互相垂直。
2. 四個角都是90°，内角和為360°。
3. 對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角。
4. 既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（有四條對稱軸）。
5. 正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形。
6. 正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質與特性。
7. 正方形是特殊的矩形，正方形是特殊的菱形。

1. 圓内接四邊形的對角和為180°,并且任何一個外角都等于它的内對角。
2. 四邊形ABCD内接于圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則有：
3. ∠A ∠C=180°，∠B ∠D=180°（即圖中∠DAB ∠DCB=180°, ∠ABC ∠ADC=180°）
4. ∠DBC=∠DAC（同弧所對的圓周角相等）。
5. ∠ADE=∠CBE（外角等于内對角，可通過（1）、（2）得到）
6. △ABP∽△DCP（兩三角形三個内角對應相等，可由（2）得到）
7. AP*CP=BP*DP（相交弦定理）
8. EB*EA=EC*ED（割線定理）
9. EF²= EB*EA=EC*ED（切割線定理）
10. AB*CD AD*CB=AC*BD（托勒密定理）

1. 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（勾股定理)
2. 在直角三角形中，兩個銳角互餘。
3. 直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點，外接圓半徑R=C/2）。該性質稱為直角三角形斜邊中線定理。
4. 直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。
5. Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：（AD)²=BD·DC；（AB)²=BD·BC；（AC)²=CD·BC。

粉絲解法1：

設大、小正方形邊長分别為a、b，連接圓心與大正方形右上角頂點，圓心與小正方形左上角頂點，兩直角三角形全等，則:a*a b*b=5*5=25。

粉絲解法2：

如圖，連接OA、OB，設AC＝CE＝a，BD＝DE＝b，OE＝c，則OC＝a c，OD＝b-c，OA＝OB，OC² AC²＝OD² OB²，代入整理得 b-a＝c，OC＝bS大正 S小正＝b² a²＝5²＝25

粉絲解法3：

設小正方形邊長為a，大正方形邊長為b.連接圓心與小正方形左上角頂點，圓心與大正方形右上角頂點，所得兩直角三角形全等（角邊角），a^2 b^2=5^2=25

粉絲解法4：

粉絲解法5：

(a b x)² 2b² y²=(a b y)² 2a² x²=100(a b)x b²=(a b)y a², x b=y a=5(5 a)² 2b² (5-a)²=100, a² b²=25

粉絲解法6：

既然要求兩個正方形面積之和，就說明這個面積和是唯一的。于是我們可以按兩個邊長相等的正方形的特殊情形來計算，而這兩個正方形的對角線恰好就是圓的半徑r，于是面積之和很容易求得為r²=5²=25。

粉絲解法7：

複雜了，還有一種方法，直接從圓心連接AB兩點。設小、大正方形邊長分别為a和b，差值為c（圓心到大正方形左底角）。根據勾股定理列出兩式，求得b-c=a。 所以a平方 （a c）平方，就等于a平方加上b平方，等于5的平方。 即正方形的面積之和為25。

a平方 （a c）平方=5平方 b平方 （b-c）平方=5平方 兩式想減即得a-b c=0 所以a c=b 帶入第一式即為所求

粉絲解法8：

粉絲解法9：

解：設：CD是半圓的直徑，O為圓心。大、小正方形在圓上的頂點分别為B、A;O'是在直徑CD上的公共頂點。 分别連接O'B、O'A， 則：∠1=∠2=∠3=∠4=45⁰ ∴∠2 ∠3=90⁰ 連接AB 則：AB²=O'B² O'A² 設大小正方形邊長分别是y、x 則：O'B²=2y² O'A²=2x² ∴AB²=2（y² x²） 延長AO'交⊙O于A' ∵CD是⊙O的直徑 ∴∠7=∠5=∠1=45⁰ ∴∠AA'B=∠7=45⁰ 分别連接OA、OB 則：∠AOB=2∠AA'B=90⁰ ∴AB²=OA² OB² ∵OA=OB=5 ∴AB²=2·5² ∴2（y² x²）=2·5² ∴y² x²=25

粉絲解法10：