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數學方陣問題思維導圖
數學方陣問題思維導圖
更新时间:2025-04-04 08:54:15

數學方陣問題思維導圖(一張思維導圖掌握方陣問題六大知識點兩大方法)1

我們在日常生活中經常會遇到編排正方形體操隊列,在正方形台上操場上鮮

花、插彩旗,在正方形棋盤上擺棋子等問題。學生排隊,士兵列隊,橫着排叫做

行,豎着排叫做列。如果行數與列數都相等,則正好排成一個正方形。在數學中

我們稱這類問題為方陣問題。中間是實心的方陣叫作實心方陣,中間空心的方陣

叫作空心方陣,求空心方陣的總點數,也可以看作由 4 個相同的長方形點陣組合

而成。方陣問題的核心是求最外層每邊人數。

 一、基本知識點1、含義

将若幹人或物體按一定條件排成正方形,稱為方陣。根據已知條件求總人數

或總物數,這類問題就叫做方陣問題。

2、特點

方陣中,行數和列數相等;裡一層總比外一層的一邊少 2 個物體;裡一層

物體的個數一定比上一層物體總個數少 8 個。

3、類型

(1)實心方陣

(2)空心方陣

4、數量關系

(1)實心心方陣(核心公式):

每層數=(每邊數-1)×4 或者每層數=每邊數×4-4;

每邊數=每層數÷4 1;

實心方陣:物體總數=最外層的一邊個數的平方=外層每邊數×每邊數。

(2)空心方陣(核心公式):

外層每邊數=總數÷4÷層數 層數;

每層數=(每邊數-1)×4;

内層數=外層數-8

物體總數=(最外層一邊個數-層數)×層數×4=(最外層層數 最内層層數)

×層數÷2

(3)去掉一行、一列的總數=去掉的每邊數×2-1;

(4)實心方陣的總數是一完全平方數,空心方陣的總數是 4 的倍數。

5、解題思路

方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘;空心方陣

的變化較多,其解答方法應根據具體情況确定。

6、解題方法

(1)圖示法

(2)公式法


 二、一張思維導圖歸納總結

數學方陣問題思維導圖(一張思維導圖掌握方陣問題六大知識點兩大方法)2

 三、經典應用

例 1、在育才小學的運動會上,進行體操表演的同學排成方陣,每行 22 人,

參加體操表演的同學一共有多少人?

【分析】體操表演排成的方陣是實心方陣,根據公式物體總數=每邊數×每

邊數,可以求出一共有多少人參加表演。由題可知,每邊數是 22 人。

【解答】22×22=484(人)

答:參加體操表演的同學一共有 484 人。


例 2、中學生運動會,準備在正方形的操場插上彩旗。如果四個角上都要插

上一面彩旗,要使每邊有 7 面彩旗,那麼一共要準備多少面彩旗?

(1)圖示法

【分析】根據題意畫出如下示意圖:

數學方陣問題思維導圖(一張思維導圖掌握方陣問題六大知識點兩大方法)3

【解答】解法 1 從上圖可以看出角上的四面旗各屬于兩行,所以,彩旗的

總數應該為 7×4-4=24(面)。

解法 2 把場地周圍的彩旗分成相等的四部分,可以看出彩旗總數為(7-1)

×4=24(面)。

解法 3 先除去四角上的四面旗,再把旗分成四部分,把總數算出來,再加

上四角上的面,可得出彩旗的總數為(7-2)×4 4=24(面)。

解法 4 先算出兩邊的彩旗數,再算出另外兩邊的彩旗數,彩旗的總數為

7×2 (7-2)×2=24(面)

(2)公式法

【分析】這些彩旗組成了一個一層空心方陣,根據公式空心方陣物體的總數

=(最外層一邊個數-層數)×層數×4 可求出彩旗總數。

【解答】(7-1)×1×4=24(面)

答:一共要準備 24 面彩旗。


例 3、參加中學生運動會團體操表演的運動員排成了一個正方形隊列。如果

要使這個正方形隊列減少一行和一列,則要減少 33 人。問參加團體操表演的運

動員有多少人?

(1)圖示法

【分析】如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列,從圖中可以看出正方

形每行、每列人數相等;不管是減去哪一行、哪一列,隻要是同時橫豎各減少一

排,那麼必然有 1 人而且隻有 1 人是同時屬于被減去的一行和一列,也就是去掉

橫豎各一排時,去掉的總人數是原每行人數×2-1 或者是減少後每行人數×2 1。

數學方陣問題思維導圖(一張思維導圖掌握方陣問題六大知識點兩大方法)4

【解答】解法 1 先利用去掉橫豎各一排時,去掉的總人數=原每行人數

×2-1,原每行人數=(去掉的總人數 1)÷2,求出團體操隊列每行有多少人,

再求參加團體操運動員的人數。

原每行人數:(33 1)÷2=17(人)

總人數:17×17=289(人)

解法 2 利用去掉橫豎各一排時,去掉的總人數=減少後的每行人數×2 1,

減少後每行人數=(去掉總人數-1)÷2,求出減少人數後的團體操隊列的每行人

數,再求參加團體操的運動員人數。

減少後每行人數:(33-1)÷2=16(人)

總人數:16×16 33=289(人)

(2)公式法

【分析】實心方陣去掉一行、一列,則去掉一行、一列的總人數=去掉的每

邊人數×2-1,所以利用此公式可求出去掉的每邊人數,去掉的每邊數就是原外

層每邊數,而實心方陣物體總數=最外層的一邊個數的平方=外層每邊數×每邊數,

可求出參加團體操的運動員人數。

【解答】(33 1)÷2=17(人)

17×17=289(人)

答:參加團體操表演的有 289 人。


例 4、"六一"節用鮮花在演出台周圍排成一個四層空心方陣,最外面一層

每邊有鮮花 12 盆,擺這個方陣共用了多少盆鮮花?

(1)圖示法

【分析】如下圖是四層空心方陣圖,通過觀察可以看出,内層每邊的個數都比

相鄰外層的每邊個數少 2。每相鄰兩層之間,每層的總數相差 8 個,因此,知道

方陣中某一層的鮮花總數,就可以求出各層鮮花的總數。

數學方陣問題思維導圖(一張思維導圖掌握方陣問題六大知識點兩大方法)5

【解答】解法 1 最外層的鮮花總數:12×4-4=44(盆)

共有鮮花:44 (44-8) (44-8×2) (44-8×3)

=44 36 28 20

=128(盆)

解法 2 先看成要排成每排 12 盆,一共 12 排的實心方陣,求出鮮花總數,

再減去中間部分實際不存在的鮮花數。中間部分實際不存在的鮮花數可看成從第

五層開始,最外邊數為(12-2×4)的實心方陣。

12×12-(12-2×4)×(12-2×4)

=144-16

=128(盆)

(2)公式法

【分析】這些鮮花圍成了最外面一層為 12 盆的四層空心方陣。根據空心方

陣公式物體的總數=(最外層一邊個數-層數)×層數×4,可求出擺這個方陣共

用了多少盆鮮花。

【解答】(12-4)×4×4

=8×4×4

=32×4

=128(盆)

答:擺這個方陣共用了 128 盆鮮花。

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