泰勒中值定理詳解-tft每日頭條

微分中值定理是高等數學中非常重要的一個章節。這一章節有很多重要定理。不知道曆史上這些定理是如何一步步被證明的。不過教材上對微分中值定理的講解大多是從費馬引理開始…

泰勒中值定理詳解（從費馬引理到泰勒公式）1

費馬引理

教材一般先用導數的定義和極限的保号性，證明費馬引理。然後利用費馬引理證明了羅爾定理。

泰勒中值定理詳解（從費馬引理到泰勒公式）2

羅爾定理

之後應用羅爾定理證明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。不管是拉格朗日中值定理還是柯西中值定理都是通過有目的的引入一個輔助函數，然後對這個輔助函數應用羅爾定理，很順利地導出了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

泰勒中值定理詳解（從費馬引理到泰勒公式）3

拉格朗日中值定理

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柯西中值定理

柯西中值公式中如果取F（x）=x，那麼柯西中值公式就變成拉格朗日中值公式了。之後教材又應用柯西中值定理證明了洛必達法則的定理1。

泰勒中值定理詳解（從費馬引理到泰勒公式）5

洛必達法則（一）

泰勒中值定理詳解（從費馬引理到泰勒公式）6

洛必達法則（二）

最後又分别應用洛必達法則和柯西中值定理證明了帶佩亞諾餘項的n階泰勒公式和帶拉格朗日餘項的n階泰勒公式。

泰勒中值定理詳解（從費馬引理到泰勒公式）7

泰勒中值定理（一）

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泰勒中值定理（二）

取x₀=0時的泰勒公式又叫做麥克勞林公式。而當n=0時帶有拉格拉日餘項的泰勒公式就變成了拉格朗日中值公式，因此可以說泰勒中值定理2是拉格朗日中值定理的推廣。

高等數學中大概是這樣一個思路把這些定理串接了起來。

僅僅是微分中值定理這樣一個章節就有那麼多以人名（費馬、羅爾、拉格朗日、柯西、泰勒、麥克勞林）命名的引理、定理、法則。不禁讓人感歎一套系統化的理論其實是經過很多能人不斷積累不斷優化才慢慢建立起來的。