咬定青山不放松，盯緊參數便成功

在二次函數壓軸題中，含參數的解析式或方程，一直是學生解題的攔路虎，對代數恒等變換不熟練，或者信心不足，便會被淘汰掉。面對此類問題，首要任務便是克服對參數的恐懼，其次便是紮實的計算功底，第三就是細心與耐心。

題目

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物線的頂點坐标為(2,0)，且經過點(4,1)，如圖，直線y=1/4x與抛物線交于A、B兩點，直線l為y=-1

(1)求抛物線的解析式；

(2)在l上是否存在一點P，使PA PB取得最小值？若存在，求出點P的坐标，若不存在，請說明理由；

(3)已知F(s,t)為平面内一定點，M(m,n)為抛物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐标.

解析：

(1)在已知抛物線頂點的前提下，使用頂點式無疑最簡單的，設y=a(x-2)²，将點(4,1)代入，求得a=1/4，于是y=1/4(x-2)²；

(2)熟悉将軍飲馬問題的學生，極容易找到方法，将點A或B中的一個點關于直線l的對稱點作出，然後連接它與另一個點，與直線l的交點即為點P，如下圖：

不妨作點A關于直線l的對稱點A'(1,-9/4)，然後與點B(4,1)坐标一起，求出直線A'B的解析式為y=-13/12x 4/3，它與y=-1的交點即為點P(28/13,-1)；

(3)從條件中的描述我們知道，有兩個距離相等，即點M到點F的距離和點M到直線l的距離，分别表示出來列出方程，這是一個較為複雜的含參數的方程，且參數較多，而在整理這個方程的過程中，牢記我們最終需要求什麼，在整理之前，點M的坐标可寫成(m,1/4(m-2)²)，這樣在一開始便少掉一個參數n，消參和消元一樣，而點F(s,t)為定點，意味着s和t均為常數，那麼整個方程中，我們隻重點關注m即可，因此整理的目标，就是一個含m的參數方程，如下圖：

此問的理解難點就在于M為抛物線上一動點，換個說法，M為抛物線上任意一點，既然是任意一點，參數m可取任何實數，即對整理後的關于m的方程來講，恒成立。

方程恒成立，初中階段有一個最典型的模型就是Ax=B，其中A=0，B=0，而連小學生都知道“零乘任何數都為零”，即x為任何實數。

再分别解上述方程①，得t=1，代入到方程②得s=2，再到方程③中驗證，左邊=0，于是存在定點F(2,1)。

解題反思

等式恒成立，對初中階段的學生來講，理解上存在一定難度，而含參數的方程，任意實數均為它的根，意義與恒成立一樣，即對于Ax=B這樣的關于x的方程，系數A與常數項B均為零，此時x的值可取任意實數，都能使方程兩邊相等；拓展一下，若A=0，B≠0，則x取任意實數，方程兩邊均不相等。這個思路可用于解決函數恒過定點，以及恒不過定點的難題。