赫斯特指數和分數布朗運動大概是在國内量化投資界被使用（和被濫用）的最廣泛的分析手段。它們被提出的曆史進程如下。

1951 年，英國水文學家赫斯特（Harold Edwin Hurst）在研究尼羅河水位變化時發現了時間序列中存在的長記憶性（long-term memory, Hurst 1951），即時間序列當前（或過去）的取值以遠超随機擾動所能達到的程度影響該時間序列在未來的取值。進一步的，他發現該長記憶性存在于更廣泛的自然現象中，比如降雨量、樹的年輪，太陽耀斑等。為了紀念他的發現，後人使用赫斯特指數（Hurst exponent，記為 H）來刻畫一個時間序列的長記憶性。

1968 年，Mandelbrot and Van Ness (1968) 提出分數布朗運動（Fractional Brownian Motions，FBM）。對于呈現出長記憶性的時間序列，該數學模型結合 Hurst 指數形成了一個完善且自洽的研究體系，使人們可以研究長記憶性如何影響時間序列的變化。後續的研究表明，FBM 完美的适用于自然科學、工程、以及統計學中的許多問題。FBM 的核心性質是該過程在任意時間窗口内增量的穩定性、自相似性和自相關性。

1994 年，Peters 将 Hurst 指數和分數布朗運動應用于資本市場（Peters 1994），指出股票的（對數）價格序列服從分數布朗運動，并提出了著名的分形市場假說（Fractal Market Hypothesis）。這無疑是即有效市場假說之後，人們對資本市場價格變化的一種全新認知。

長記憶性是和短期相關性（short-term dependency）相對應的。一個具有短期相關性的時間序列它的自相關系數随着間隔（lag）的增大很快衰減為 0 或者按指數衰減；而對于具有長記憶性的時間序列，它的自相關系數衰減的更慢。這個定義說明，如果一個平穩時間序列的自相關函數 ρ(k) 的衰減速度服從幂律衰減（即比指數衰減慢），那麼這個時間序列就具備長記憶性。記憶性體現在自相關函數的非獨立性上，而“長”體現在衰減的慢。

Hurst 指數 H 就用來刻畫這種長記憶性；它被用來測量一個時間序列的波動範圍如何随時間跨度變化，即：

其中，n 是時間序列觀測點的個數，代表時間跨度大小；R(n) 是這 n 個觀測點的變化範圍；S(n) 是這些點的标準差。使用 S(n) 對 R(n) 進行标準化，得到 R(n)/S(n)，它是以标準差重新标度過的範圍，稱為重标極差（rescaled range）；A 是常數；H 就是Hurst 指數。

H 的取值範圍在 0 和 1 之間（不包括 0 和 1）。當 H = 1/2 時，該時間序列沒有相關性。當 H > 1/2 時，該時間序列有長記憶性；當 H < 1/2 時，該時間序列表現出反持續性，因此它表現出比純随機更強的波動。

雖然有了 Hurst 指數，但我們仍然沒有分析這類時間序列的模型。分數布朗運動應運而生。

分數布朗運動 FBM（又稱為分形布朗運動）脫胎于标準布朗運動。FBM 是一個定義在時域上的連續随機過程 B_H(t)，它滿足：

1. 對于任何 t 和 Δt > 0，B_H(t Δt) – B_H(t) 的期望為 0，即 FBM 的增量的期望為 0。
2. 對于不同時刻 t 和 s，它們的協方差函數為：

其中 H 就是描述這個 FBM 增量間關系的 Hurst 指數。FBM 的核心性質是其增量的平穩性、自相似性和自相關性（H = 0.5 除外；當 H = 0.5 時，FBM 變化為标準布朗運動）。

首先來看自相似性（self-affinity property）。它指的是對于兩個成比例的時間跨度，記為 τ 和 kτ（k 是比例縮放系數），FBM 在這兩段時間跨度上的增量依照 k^H 的縮放比例滿足統計上的同分布，即：

如果我們使用 FBM 來描述投資品（對數）價格，則這個性質說明不論我們看 5 分鐘線、30 分鐘線、日線、或者周線，投資品價格在不同時間尺度上的變化（即不同頻率上的收益率）按照 Hurst 指數刻畫的縮放比例 k^H 呈現出統計上的同分布。即如果我們把投資品價格的 5 分鐘收益率按照 6^H 比例放大後和 30 分鐘收益率比較，我們是無法區分它們的，因為他們在統計上滿足相同的分布。

再來看增量的自相關性（這是被國内量化投資界過度錯誤使用的性質）具有如下性質：

• 如果 H > 0.5，則 FBM 的增量之間正相關；
• 如果 H < 0.5，則 FBM 的增量之間負相關。

Mandelbrot and Van Ness (1968) 對增量之間的相關性進行了定量的計算。令 [-t/2 – t2, -t/2] 和 [t/2, t/2 t1] 代表兩個不重合的時間跨度（因此這兩個跨度的長度分别為 t1 和 t2），則 FBM 在這兩個跨度上的增量之間的相關系數為（記為 C(t,t1,t2)）：

可以證明，無論 t，t1 以及 t2 的取值，當 H > 0.5 時，該相關系數都大于 0；當 H < 0.5 時，該相關系數都小于 0。

我們在上式的基礎上做一些有用的推導。令 t1 = t2，即我們考慮 FBM 在兩個相同跨度上增量的自相關性。另外，令 t = s × t1，s = 0，1，2，…，即這兩段增量之間的間隔是它們跨度的 s 倍。如此處理後再計算這兩段增量的相關性，實際上是在計算原始 FBM 按照 1/t1 頻率進行一階差分後的序列的自相關性，其間隔就是 s。

經過簡單的代數運算很容易得到：

可見，這個 FBM 一階差分序列的自相關性僅和間隔 s（以及 Hurst 指數 H）有關，而與計算自相關性的時間點無關。這就證明了 FBM 增量的平穩性。特别的，如果我們取 s = 0，則我們關注的是兩個相鄰的 t1 長度内 FBM 增量的自相關性，它等于：

無論 s 是否為 0，以上兩式均與時間跨度的取值無關。這是非常重要的一個性質，說明 FBM 增量的自相關性和求解增量的時間跨度 t1（或差分 FBM 的頻率）無關，僅由 s 和 H 刻畫。因此 Hurst 指數描述的是 FBM 增量的自相關性在不同頻率上的共性。在下一節介紹重标極差法計算 Hurst 指數時，我們會進一步解釋這一點。

Hurst 指數刻畫的是不同頻率下 FBM 增量的波動和頻率的關系。波動的含義是 FBM 在不同頻率下的增量的分布寬度。刻畫這個寬度可以使用重标極差或者别的指标，比如标準差。這就構成了計算 Hurst 指數的不同方法。

當使用重标極差來描述波動的分布寬度時，該方法便稱為重标極差分析（rescaled range analysis，記為 R/S 分析），這是由 Hurst 發明（Hurst 1951），也是業界最普遍的一種方法。在國内很多投資研究報告中計算 Hurst 指數時，采用的正是這種方法。

理解這個方法對完全搞懂 Hurst 指數和 FBM 至關重要。比如，FBM 研究的是投資品價格序列，但是為什麼我們卻說收益率的 Hurst 指數，而不說價格序列的 Hurst 指數？又比如，我們可以使用日收益率計算 Hurst 指數，也可以使用周收益率計算 Hurst 指數，它們之間到底有什麼區别和聯系？以回答這些問題為目标，本節參考 Peters (1994) 的步驟介紹如何使用重标極差法計算 Hurst 指數。

首先必須明确的是，在金融市場投資領域，FBM 是用來對投資品的對數價格建模的，因此 FBM 的增量就是投資品的對數收益率。使用對數價格的目的是将價格标準化，使時間序列在不同絕對價格下的波動具有可比性。舉個例子，如果不進行标準化，那麼顯然 100 點的波動對于 3000 點和 6000 點的上證指數是不一樣的，是不可比的。

根據 FBM 的性質，其增量滿足平穩性。因此，投資品的對數收益率滿足平穩性。而長記憶性，即 Hurst 指數，是刻畫平穩時間序列自相關性的一個指标（Beran 1994）。因此 Hurst 指數刻畫的就是對數收益率的自相關性。這就是為什麼當我們說 Hurst 指數時，它的對象是收益率序列而非價格序列。

R/S 分析的步驟如下。

R/S 分析第一步：輸入數據為長度為 M 的股票價格（比如收盤價）序列。将它取對數、做差分，變成長度為 N = M - 1 的對數差分序列：

這樣就把輸入的價格序列轉化為了對數收益率序列。

R/S 分析第二步：将長度為 N 的對數收益率序列等分為 A 個子集，每個子集的長度為 n= N / A。計算每個子集的均值，記為 e_a, a = 1, 2, ..., A。

R/S 分析第三步：在每個子集 a 内，逐一計算前 k 個點（k = 1, 2, ..., n) 相對該子集均值 e_a 的累積離差：

這裡的關鍵點是累積離差是相對于該子集均值而言的，即這裡有個去均值的過程，因此下一步計算出的波動範圍（range）也是去均值化後的。在 Hurst 的研究中，他使用的正是去均值化後的離差和波動範圍，這可以消除序列長期趨勢對增量之間相關性的影響（Hurst 1951，Feller 1951）。由于對數收益率序列的累加構成對數價格，而對數價格由 FBM 描述，因此去均值也保證了收益率序列滿足 B_H(t) 在任意長度區間内增量的期望為 0。如果沒有進行去均值處理，則對數收益率序列可能存在非零的漂移率（drift rate）常數項，這會造成 FBM 不滿足增量零均值性質。

Hurst 指數刻畫的是去除漂移率項之後的對數收益率的自相關性。

考慮下面的例子。假設對數收益率序列為：2%，-1%，2%，-1%，2%，-1%，2%，-1%。它們的均值為 0.5%，因此去均值化後的序列為：1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%。顯然，這兩個序列的累積離差序列完全不同（因此在下一步中計算出的波動範圍也不同）。

R/S 分析第四步：計算每個子集 a 内對數收益率序列的波動範圍 R_a，它等于累積離差最大值和最小值的差值：

R/S 分析第五步：計算每個子集 a 内對數收益率序列的标準差 S_a。

R/S 分析第六步：對每個子集 a 内，使用其标準差 S_a 對其波動範圍 R_a 進行标準化，得到重标極差 R_a/S_a。從第二步開始，對于選取的長度 n，我們一共有 A 個子集，因此有 A 個重标極差。取它們的均值作為該原始對數價格序列在長度為 n 的時間跨度上的重标極差，記為 (R/S)_n：

R/S 分析第七步：增大 n 的取值，并重複前六步，得到不同長度 n 的時間跨度上對數價格序列的重标極差 (R/S)_n。

R/S 分析第八步：根據 Hurst 指數 H 的定義，我們知道它是描述 (R/S)_n 和 n^H 的正比關系，即：

因此，對 n 和 (R/S)_n 進行雙對數回歸，即使用 log(n) 對 log((R/S)_n) 進行線性回歸。回歸方程的截距就是上面關系中的常數 C，而斜率就是 Hurst 指數 H。

Log((R/S)_n) 和 log(n) 之間的線性關系（斜率）就是 Hurst 指數 H。我們來看看這條跨越不同 log(n)——對應的是計算收益率的不同頻率——的直線到底意味着什麼。

在求解 Hurst 指數 H 的過程中，随着時間跨度 n 的增加，我們逐步考察更低頻率的對數收益率的累積變化。原始價格數據的粒度決定了我們在分析中涉及的最高頻率（因為 n 的取值最小為 1），而 Hurst 指數描述的是以這個最高頻率為上界的全頻率*範圍内的收益率序列的相關性。

* 說全頻率不太确切。大量國内外實證指出，當時間跨度 logn 太大之後，Hurst 指數 H 刻畫的記憶性開始失效，即如果我們把 log((R/S)_n) 和 logn 畫出散點圖，那麼當 logn 大于某個值，即頻率小于某個值的時候，log((R/S)_n) 和 logn 的線性關系開始失效（比如下圖來自使用 R/S 法分析上證指數從 2005 年起日收益率的 Hurst 指數，log((R/S)_n) 和 logn 的線性關系當 n 大于 244 個交易日——約 1 年——後失效）。因此，Hurst 指數刻畫的是從分析的最高頻率到線性關系失效對應的最低頻率之間所有頻率的相關性。在這段頻率區間内，無論我們看哪個頻率的收益率，其自相關性都由一個共同的 H 刻畫。

來看幾個例子。假設我們輸入的數據為 5 日收益率（即采樣頻率是 5 個交易日），而 log(R/S) 和 logn 的散點圖說明當 n = 250 個交易日線性關系時失效（相當于 1 年），這意味着我們考慮的頻率範圍是從 5 日收益率一直到 1 年的收益率。假設 H = 0.6，這意味着在這個頻率範圍内，無論我們考察 5 日收益率的自相關性，還是月收益率的自相關性，亦或是年收益率的自相關性，它們都由 H = 0.6 來刻畫。

而當我們将輸入數據的頻率提高到 1 日收益率數據會怎麼樣呢？我們的分析範圍由之前的 5 日到 1 年擴大到 1 日到 1 年。因此，在這種情況下計算出來的 H 數值則刻畫這個更大頻率範圍内收益率的自相似性。顯然，它涵蓋了之前的 5 日到 1 年這個頻率區間。那是否意味着這個新的 H 數值等于之前的 0.6 呢？答案是否定的。由于新的分析中用到了更高頻的數據（1 個交易日），而更高的頻率伴随着更多的随機擾動（所以高頻收益率之間的相關性更低），因此這個描繪從 1 日到 1 年頻域的新的 H 會比之前那個描繪從 5 日到 1 年頻域的 H 的取值低一些。Peters (1994) 在美股上的大量實證完美的證實了這一點。

通過前面的介紹，我們已經知道：

Hurst 指數刻畫的是去除漂移項之後的對數收益率在全頻率上的自相關系數。

在文章的開篇，我提出國内量化投資界過度誇大了這種自相關性在構建可盈利的投資策略時的作用。這主要體現在以下兩個方面：

1. 它從本質上錯誤的定義了“趨勢”；
2. 它過分誇大了 FBM 增量之間的正相關性在構建投資策略時的作用。

下面我就來分别闡述這兩點。

首先來看“錯誤的定義了趨勢”這點。在衆多的描述股價的随機過程變種中，标準布朗運動和分數布朗運動都是假設該随機過程是沒有長期漂移率項的，即投資品價格經過任意時間跨度 T 的變化之後，其期望價格仍然等于它的初始價格。這顯然和現實不符。因此，更适合描述股價的布朗或分數布朗運動一定是含有代表長期趨勢的漂移率項的。

美股的标普 500 指數或者道瓊斯工業指數在百年曆程中呈現穩健上行的慢牛行情（除幾次嚴重股災外），是因為它們的收益率有一個正的（雖然很小）的漂移率；我國 A 股在 2007 年和 2015 年的兩波牛市盛宴中之所以能一路上行，是因為收益率有正的且相對于波動率來說很大的漂移率。收益率中的正漂移率才是趨勢，才是能夠被策略利用來賺錢的。

下圖是利用時間序列中刻畫短期自相關性的 ARMA 模型（來自《寫給你的金融時間序列：應用篇》）分析上證指數收益率時，得到的漂移率随時間的變化。可見在 2015 年上半年大牛市的時候漂移率顯著大于 0；在 2015 年下半年大熊市的時候，漂移率顯著小于 0。在這個顯著的漂移率面前，刻畫自相關性的 ARMA 系數對收益率的影響微乎其微。雖然這是一個從短期自相關性角度考察的例子，但它的結論對于 Hurst 指數這種全頻率的長期自相關性同樣适用：在真正代表趨勢的漂移率面前，無論短期還是長期的自相關性對于收益率的影響微乎其微。

再來看一個假想的例子。假設我們有一組對數收益率序列 {3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2% …}。從賺錢的角度來說，這個序列有明顯的趨勢（漂移率等于 2.5%），因此應該一直持有該投資品。但如果我們對該收益率序列去掉長期均值并計算其 Hurst 指數，得到的 Hurst 指數沒有任何意義（因為這個例子中收益率序列呈周期性變化，因此 Hurst 指數覆蓋的頻域也是有周期性的，考慮不同頻率，Hurst 指數時正時負）。如果我們不考慮漂移率，那麼我們會根據 Hurst 指數認為當收益率序列在特定的頻率下有負相關，從而放棄收益率為 2% 的那些時間段，這顯然是錯誤的。

所以，真正能賺錢的行情是收益率序列中有正的漂移率項。而這壓根就不是 Hurst 指數刻畫的對象（它研究的是去漂移率項之後，收益率序列的自相關性）。券商報告中使用 Hurst 指數擇時出 A 股的牛熊市（漂移率為正和漂移率為負的周期），實在是贻笑大方。

再來看看第二點，即“誇大了（去漂移率後）收益率之間正相關性的作用”。FBM 的增量之間有相關性，那麼當使用 FBM 描述股票對數價格的時候，這裡隐含的意思就是如果股票價格在前期漲了且 Hurst 指數大于 0.5，則股票價格在後期也會漲。這個通俗的理解雖然和 FBM 的性質不矛盾，但是細想起來，直接使用它構建策略就有問題了。

假設收益率沒有漂移率，讓我們就考慮它的自相關性。那麼我們關心的是 FBM 過程的增量在已知過去曆史的條件下的條件期望。如果條件期望為正，那麼可以說收益率的期望為正（當然，對于實際的收益率取值，還受到随機擾動的影響）。但是，由于 Hurst 指數描繪的是全頻率上的相似性，FBM 增量的條件期望在數學上極其複雜（Fink et.al. 2013）。這在投資中的體現是，一個投資品在上一個交易日的收益率可能是正的，而它在前一周的收益率卻是負的。Hurst 指數說明不同頻率的收益率在統計上滿足同分布，且有相同的相關性。那麼這一正一負的不同頻率的收益率的實際取值對未來收益率的影響到底是多少呢？顯然，我們不能看了日收益率為正就說下一個交易日的收益率為正；而看了周收益率為負就說下一周的收益率為負。這就是 Hurst 指數作為全頻率上的性質在對未來進行推測時帶來的複雜之處。所以，如果我們僅以 Hurst 指數大于 0.5 就說“之前漲了，之後還會漲”，這無疑錯誤解讀了 Hurst 指數的本意。

以上就是對上面兩個問題的論證。

那麼，Hurst 指數刻畫的長記憶性在投資中到底意味着什麼呢？我認為它可以從三方面解讀：

1. 波動率聚類

Mandelbrot (1963) 在研究投資品價格時觀測到波動率聚類。它的意思是價格的大幅變化往往伴随着大幅變化（變化的符号都有可能），而價格的小幅變化往往伴随着小幅變化。從數學上刻畫就意味着收益率的絕對值有很強的長記憶性，它的自相關性衰減的很慢。Taqqu (1975) 的研究也證明了 FBM 的增量（收益率）的絕對值的 Hurst 指數大于 0.5，即有長記憶性。Oh et. al. (2008) 研究了美國、德國、英國等八國主要股指收益率的絕對值并證實，這些時間序列的 Hurst 指數顯著高于 0.5。下圖為 2001 年到 2017 年上證指數日收益率的标準差，從中可以清晰的看到波動率聚類。

從風險控制的角度出發，使用 Hurst 指數研究收益率的絕對值（即波動率）的自相關性，比使用它來研究收益率的自相關性更具有實際意義。

2. 收益率的尖峰肥尾分布

投資品收益率并不滿足正态分布，而是呈現出尖峰肥尾的特征。這是市場上的共識。在數學上，這種分布可以使用 Levy 分布描述，而描述該分部時用到兩個重要的參數 α（描述尖峰肥尾性）和 β（描述偏度）。（注：這裡雖然用到了符号 α 和 β，但它們和我們常說的 α 和 β 收益率無關。）

當一個随機變量的尾部分布滿足幂律衰減時，即 prob(X>x) ~ O(x^-α) 且 α < 2，該随機變量的分布體現出肥尾。可以證明，α 和 Hurst 指數 H 有如下關系：α = 1/H。對于有長記憶性的收益率，因為其 H > 0.5，所以 α = 1/H < 2，因此我們在收益率分布上觀測到尖峰肥尾特性。

3. 對投資者心理的影響

投資品價格的走勢都是被無數投資者交易出來的。從一定程度上說，長記憶性是投資者行為在投資品收益率上刻下的烙印。俗話說“一朝被蛇咬十年怕井繩”，那麼一次大的股災顯然很容易讓投資者變成驚弓之鳥，對大跌的恐懼和風險厭惡顯然不是一朝一夕可以忘掉的。這種影響将會是深遠的，體現在啊投資者的行為上，便造就了收益率上的長記憶性。

以上便是 Hurst 指數和 FBM 對于投資實踐的意義。

在研究量化投資之初，我從國内的研究報告中接觸到了 Hurst 指數（可見它的流行度）。自己嘗試後發現效果并不好（尤其樣本外）。那時我就在想是自己沒用對，還是經過這些研究報告“加工過”的二手資料對 Hurst 指數的理解有誤。于是追蹤溯源我認真學習了Hurst 指數和 FBM 的原始資料，得出的結論是二手資料對 Hurst 指數的理解有誤。終于，今天有機會把我自己對 Hurst 指數和 FBM 的理解寫下來，是為了對自己之前學習的總結；是為了讓希望真正理解它們的人少走些彎路；是為了抨擊那種張嘴就來說“Hurst 指數＞0.5 就有趨勢能賺錢”的不負責任的态度。

Hurst 指數的使用和錯用關鍵在于對能賺錢的“趨勢”的正确理解。對于什麼是“趨勢”，很多種方法都能自圓其說，并無所謂誰對誰錯。如果我們想利用“趨勢”賺錢，那麼能賺到錢的定義趨勢的方法就是好方法；如果我們是想通過嚴謹的理論來研究收益率的相關性，那麼一個符合收益率特性的數學模型就是好方法。Hurst 指數和 FBM 的提出顯然是為了後者。Hurst 指數刻畫的是去掉漂移率之後，收益率在頻域的自相關性，因此以它來判斷市場的價格趨勢（收益率中的漂移率項）是不合适的。這相當于我們用目标 a 的模型去搞目标 b，這是行不通的。

影響投資品價格的因素衆多。站在研究的角度，我們僅能做合理的簡化，并選出一些特征。當我們明确研究的目标後，便可以對這些特征數學建模以便更好的理解。但是，無論怎麼建模，描述的都僅僅是很小的一部分特征，是我們研究中針對的那一部分的簡單抽象。如果認為這就是市場真理（并錯誤的解讀它），無異于刻舟求劍。

參考文獻

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