很多時候一門學科的興起和衰落都有着特定的曆史背景，其實很少有一些始終如一很火爆的領域出現，數學領域也是這樣子。但是有一個數學科目卻是幾千年來從未冷卻下去，這門學科貫穿着整個數學的發展史，這就是數論。

數論裡永恒的話題----素數

說到數論，也就是研究一個整數的性質。哪一類整數最讓人着迷呢，當然是素數了。奇怪的是迄今為止，人們對于素數的應用卻是很少很少，但是這絲毫沒有打消人們想要研究的念頭。也許對于數學沒有目的的研究才是真正應該做學問的态度吧。

高斯大神

幾乎所有的數學家多多少少都研究過素數，從遙遠的歐幾裡得，阿基米德，再到中世紀的斐波那契，然後再到文藝複興時代的數學大師們。當然，高斯這位大神也對素數極度癡迷，從他十幾歲開始就研究，并且得出了重大的成果。

然而，素數這個問題卻不是你研究時間長，研究人員多，就一定可以出成績的，這個跟現在的科研有着顯著不同。數學的發展史就是一部氣勢磅礴的素數研究史，但是深究下去，你更加會發現，很多素數的簡單到孩童都理解的問題都一直沒有突破。比如，是否存在無窮多組間隔為2的素數對，任意一個大偶數都是兩個素數的和。。。

高斯在1792年研究過一個關于素數的重大問題。

一個自然數N以内的素數到底有多少個？

這是一個相對來說弱化了的問題，比起那些一個勁就要找到素數公式的方向顯然要柔和得多，正是因為這個問題不是那麼強勁，所以這個問題的研究才有可能得到了充分的成果。

納皮爾與對數表

1792年，高斯多少歲了？僅僅15歲，他的數學天賦已經開始有了恐怖的發揮了。少年時期的高斯有一本對數書，也就是納皮爾編的那套對數表。然而這部内容相當枯燥的工具書最後幾頁藏着一個彩蛋，這是一張素數表，大概就是依次把某個範圍内的所有素數都羅列在上面，方便人們進行素數方面的研究。高斯對着素數有着超乎常人的癡迷，他在這個素數表的基礎上，統計了一些規律。分别計算了某個範圍内，素數的個數是多少。

100億以内素數個數統計

事實上，我很懷疑這張表是後人杜撰出來的，這裡最大的一個範圍已經到了100億了，在18世紀末的人類應該很難能獲得100億内的全部素數吧。不過即使這張表是後人造出來的，也不妨礙高斯的偉大成就。

N是某個具體的自然數，π(N)是實際上小于等于N的全部素數個數，右邊是“相鄰素數間隔的平均值”。這裡，我們要注意最右邊的這一列數值的意義所在，所謂相鄰素數間隔的平均值，實際上也就是平均要數過多少個自然數才會遇到一個素數。換句話說，在1000以内，素數占到了1/6，在100億内，素數大約占到1/22。這個通過統計得到的規律非常重要，高斯對于素數個數的猜測都是來自于這一列數據。

Li(x)與真實π(x)的差距

這裡的N從上到下是10倍的速率增長，而相鄰素數間隔的平均值卻沒有以指數增長，甚至還基本上穩定在某個數值附近。實際上，這個也符合我們對于素數分布的直觀感受。我們早就知道素數是無限多的，随着數值的增大，素數之間的距離會越來越大，分布也就會越來越稀疏。但是我們卻沒有想到，其實素數占到全體自然數的概率是有一個基本穩定的值的。

分析上面的最後一列數據，相鄰兩行的數值上大概相差2.3。想想看，假如我們把N作為自變量，後面的那個間隔的平均值L作為未知量，組成一個函數。那麼這個函數會滿足一個性質，N增加10倍，L始終增加2.3，什麼函數才會滿足這樣的要求呢？其實，這個函數就是對數函數，正是高斯那本對數書的正文部分，好好冥冥之中納皮爾這位對數大師在引領着小高斯走向正确的軌道上來。

到這裡，高斯猜測任意取一個自然數的概率應該是1/logN,這裡高斯并沒有指定log取的底是多少，并不一定就取10為底。高斯列出那個表裡自變量N是以10倍遞增，僅僅是因為這樣做統計比較方便，事實上，高斯如果不嫌麻煩用7倍增速，3倍增速同樣可以得出類似的結論。高斯隻是猜測這兩個關系之間應該是對數函數的關系。

既然猜測到了素數的概率公式，我們不妨再前進一步，任意N以内的素數的個數是多少呢？

假如高斯同志真的不嫌麻煩，甚至擁有無窮的計算力，他不再讓N以10倍遞增，而是讓N一個一個加上去，然後再統計出對應其他兩列數據。那麼，假如任意N以内的素數個數都要滿足上面的猜測公式的話，于是就可以得到任意N内的素數個數的一個估計公式：

高斯推測的素數個數公式

上面式子其實是一個定積分的定義展開式，為了簡化表示，我們也寫成一個積分：

素數個數估計函數積分形式

于是高斯最終提出的素數定理表達起來就是：

素數定理

這個式子深刻地表示出了素數在全體自然數域内的分布情況。1798年，數學家勒讓德把這裡的log的底取為e。

這個隻是理論上的推測，實際情況呢？我們用一張表格來呈現。

素數估計函數Li(x)的相對誤差

我們可以非常清晰地發現随着N的增大，估計函數Li(N)與真實計數函數π(N)的相對誤差越來越小，最終應該就會是等價的了吧。

勒讓德

同以往高斯遇神殺神的研究不同，高斯素數定理的提出是根據基本的統計再反推得到的，高斯本人沒有從理論上證明這個定理的正确性。這個成果也仿佛不太符合高斯大神的風格，事實上，這個定理（其實更應該說是猜想）在19世紀基本上都沒有什麼大的證明進展。直到他的學生黎曼那篇驚世駭俗的論文出現之後，人們在不斷鑽研黎曼假設的過程中意外地證明了這個重大的問題。

黎曼大神

1896年法國數學家哈達瑪)和比利時數學家普森先後獨立證明了黎曼猜想中的所有非平凡零點都位于x=0到1之間的帶狀區域内，并且不包括邊界。這個結論相對于真正的黎曼猜想而言其實不值一提，他們的方法用到了複分析的理論，尤其是黎曼ζ函數。他們用到的數學方法極其高深，以至于，當時的數學大師哈代直覺性地認為，要想證明素數定理，必須要用到複分析這些高深理論，以此來彰顯這個定理崇高的地位。然而在1949年，卻有人打破了哈代這個直覺預言，其實這麼高深的理論也是存在初等證明的。年僅31歲的塞爾伯格和埃爾德什給出一個初等證明，他們的證明過程裡沒有用到ζ函數，甚至連微積分的知識都沒用到，僅僅用到極限，e,log的一些簡單性質。

史上最多産的數學家 保羅埃爾德什

這個過程裡，我們也看到，很多看起來高不可攀的問題，也許真的就存在一個初等的證明方法，不過方法雖然初等，但是用這個方法怎麼達到最後的結果，其實難度甚至比用高超的數學工具還要大！

我們始終難以想象15歲的高斯僅僅通過一本陳年的對數工具書和附件裡的素數表，就足以推理出一個困擾百年的重大猜想。其實這一點很幸運，素數的表達公式基本上是毫無規律的，可喜的是素數的分布卻是有十分明顯的規律的。比起這份幸運來，高斯驚人的洞察力更加令人震撼。