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奧數世界杯賽程
奧數世界杯賽程
更新时间:2025-04-04 19:16:03

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)1

(撰文:小留洋•Yvonne)

IMO,International Mathematical Olympiad,國際奧林匹克數學競賽是數學競賽賽道上最璀璨的明珠了,是最高競賽獎項。

但它也不是我們高攀不起的,有些題隻要認真琢磨,就能發現解謎線索,在這過程中你會感覺到自己像柯南,像福爾摩斯,像偵探️‍♀️在探案,那種揭秘的樂趣隻有體驗了才知道有多爽。


來道考古題,1959年IMO第二天第4題。

Construct a right triangle with a given hypotenuse c such that the median drawn to the hypotenuse is the geometric mean of the two legs of the triangle.

用給定的斜邊c構造一個直角三角形,使得到斜邊的中線長度是三角形兩條邊邊長的幾何平均值。

第一步 勘查現場

給定斜邊做一個直角三角形,要畫一條從頂點到斜邊的中線,還要知道幾何平均值。回想一下腦子裡的基礎知識。①圓的直徑對應的圓周角是直角,放一邊備用;②取一邊中點,連接對側的頂點就是中線,也不難,等會兒畫;③幾何平均值就是2個數的乘積開平方。

第二步 線索拼圖

根據已有信息,我們先把斜邊c畫上,考慮直角三角形的那個直角頂點可能在什麼地方。觀察下圖。紅色C點在圓上,△ABC一定是直角三角形。

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)2

再把到斜邊c的中線畫出來,以便觀察。

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)3

還不足以确定C點的具體位置,繼續探索。

第三步 抽絲剝繭

還有一個關鍵信息沒用上,中線長度是a和b兩個直角邊的幾何平均值。CO=√(a•b). 我們列公式觀察幾個變量的關系。中線CO也是半徑,c是直徑,所以CO=c/2。根據勾股定理,a² b²=c²。

代換變形都用上,看看能得到什麼有用信息。

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)4

有點意思了,也就是說,隻要能構造出一個c線段√3/2倍長的線段,我們就構造出了a b,就是相當于把a和b兩條線段拼接在一起了。

第四步 逆向推導

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)5

我們再從預期的結論往前推看看有什麼線索。看上圖,假定圖已經做出來了,将AC延長至D,CD長度等于a,那麼AD就是a b,可知,CDB是等腰直角三角形,∠D是45°。

好像差不多了,如果AD也就是a b這條線段已經得到,線段c也是已知的,我們在D點做一個45度角,以A為圓心c為半徑做圓,與45度角的射線交于B,再從B做一條垂線垂直于AD,垂足是C,這樣三角形ABC就得到了。

至于如何得到√3/2c長的線段,我們下面有個圖,大家自己琢磨一下,我們在講做鹦鹉螺曲線的文章裡講過。

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)6

第五步 完整繪圖

繪制a b線段,也就是√(3/2)c長度的線段。

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)7

以D為頂點做45度角,做射線。

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)8

以A為圓心,c為半徑做圓,交射線于B。

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)9

過B點做AD的垂線,垂足是C點,連接ABC,完成作圖。

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)10

第六步 反思

還有沒有其他方法?做三角形的高h觀察。利用相似三角形做變化,得到高h為c/4。知道高,C點又在圓上,作圖可以更簡單。

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)11

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做c/4線段

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做斜邊c的平行線,距離c/4

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)14

以斜邊c為直徑做圓,交平行線于點C

奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)15

連接ABC,作圖完成。


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奧數世界杯賽程(IMO國際奧數競賽題)16

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