一年級下冊︱怎樣通過觀察物體的活動發展學生的空間觀念？

　　教材在第二單元的教學中安排了豐富的觀察物體的活動，目的是通過這些活動發展學生的空間觀念。

　　在觀察活動中，可能有教師認為實物觀察的課堂組織難度較大、占用時間長，為了提高效率，可以直接進行圖片觀察。但實際上，空間觀念的形成僅靠教師的講解和圖例是遠遠不夠的，需要學生具有豐富的感性認識和親身的實踐體驗。

　　教材主要設計和安排了兩類層次與水平不同的觀察活動。

　　一是實物觀察，主要是對一個實物的觀察，讓學生親身經曆“觀察實物—直觀感知—形成表象—想象判斷”的過程，體會從不同方向觀察物體所看到的形狀可能是不同的。換句話說，通過觀察實物的實踐，獲得不同方向（或站在相對物體的不同位置）觀察物體可能看到不同形狀的直接經驗。

　　二是間接觀察物體，如教材中“觀察大象”——圖中的小猴與小貓分别從兩個不同的方向觀察同一頭大象，學生通過觀察這幅圖來辨别它們各自看到的大象是什麼形狀。這種間接觀察物體的活動，學生經曆的是“觀察實物圖—空間想象判斷—形成表象—觀察實物驗證” 的過程。實物觀察是“看圖觀察”的基礎，“看圖觀察”是實物觀察的發展，因此教材在問題串的設計上都是讓學生經曆從實物觀察到“看圖觀察”的過程，以此幫助學生積累觀察物體的經驗，發展他們的空間觀念。

　　需要提醒的是，教師要盡量為學生提供可觀察、易交流的物體，比如，被觀察的物體不宜太小，物體的各個部位要簡明并具有顯著特征。觀察時，還要注意物體不要放得太高，和學生的視線最好在同一水平線上。

　　二年級下冊︱怎樣利用教材第10頁“租船”這一情境，培養學生解決問題的能力？

　　在本冊教材中，與前幾冊一樣，應用問題不單設章節和例題，而是結合每部分内容，選擇現實的、有趣味的、富有挑戰性的題材，采用多樣化的呈現形式，引導學生運用所學的知識，結合生活實際來解決問題。在學習了有餘數除法後，教材創設了同學們租船活動的情境，結合生活實際，運用有餘數除法的有關知識解決簡單的實際問題。

　　教學時，可以先鼓勵學生說一說，從圖中看到了什麼？學生從圖中獲得了“每條船限坐4人” “圖上有22人要租船”的信息。提出問題：22人去劃船，至少要租幾條船？教材呈現了兩幅作品，是學生解決這一問題時的思路。這也是本套教材在編寫過程中，對逐步發展學生解決問題的策略，如畫圖、列表等進行有系統的思考和設計。本課是發展學生掌握畫圖、列表方法的一個有利時機。在具體的學習過程中，學生可以出現多種畫圖、列表的方式。如果學生先前缺少用畫圖、列表解決問題的經驗，教師可以提示學生通過畫一畫、寫一寫的方式解決問題。需要注意的是，我們隻鼓勵學生選擇适合自己的方法解決問題，不要求所有學生掌握所有方法。這樣的列表隻是最原始的表達方式，隻要學生能夠把列表的意思表達出來即可，列表的形式可以在長期的學習過程中逐步統一規範。隻要學生清楚、直觀地表達了自己的想法就可以。

　　“試一試”中的“每時租金9元，30元最多劃幾小時”。列出除法算式30÷9＝3（時）……3（元）後，鼓勵學生聯系生活實際，思考剩下的3元能不能再劃1時，顯然是不能的，因此，30 元最多劃3時。

　　需要指出的是，學生在實際問題中，對結果“進”與“舍”的時候會存在困難，這時可以通過模拟操作和生活經驗等幫助學生體會。

　　三年級下冊︱“圖形的運動”這一單元的教學定位是什麼？怎樣區分生活中的對稱、平移和旋轉現象？

　　本單元把平移、旋轉與軸對稱等作為學習内容，從運動變化的角度來認識“圖形與幾何”。發展學生的空間觀念是本單元教學活動的重中之重，因此，建議課堂教學盡可能體現：通過學生身邊豐富、有趣的實例，讓學生充分感知平移、旋轉和軸對稱等現象；在動手操作中，體驗圖形變換，發展空間觀念。

　　教材雖然強調在現實情境中幫助學生體會軸對稱、平移和旋轉現象，但需要注意的是，實際生活中的現象往往很複雜，我們在學習軸對稱、平移和旋轉現象時可以借助現實情境幫助理解，但不宜對實際生活中的現象做過多讨論，尤其注意不要在評價中出一些複雜的實際生活中的現象讓學生來判斷。在這裡，我們主要學習的是平面圖形的軸對稱、平移和旋轉。練習基本上也都是基于方格紙上的軸對稱、平移和旋轉運動。

　　在學習中，學生可能會問到摩天輪的運動、窗簾的拉動、門的轉動、蕩秋千、鐘擺等生活現象算不算旋轉。回答這些具體的問題，教師首先需要理解軸對稱、平移和旋轉的概念— —在圖形的變換中有一個非常重要的變換，就是全等變換，也叫作合同變換。如果圖形經過變換後與原來的圖形是重合的，也就是圖形的形狀、大小不發生變化，那麼這個圖形的變換就叫作全等變換，即原來的圖形中，任意兩點的距離假設是n的話，經過變換後的兩點之間的距離仍是n，所以全等變換是一個保距變換，而且由于距離保持不變，圖形整體的形狀、大小，都可以證明仍然是保持不變的。

　　全等變換有幾種方式。我們可以想象一下兩個完全一樣的圖形，要由一個圖形的運動得到另一個圖形，可以作怎樣的運動呢？可以是平移。除此以外呢？比如，兩個三角形有一頂點重合，那麼有兩種情況：一種是這兩個三角形的三個頂點順序是一緻的，這時其中一個經過旋轉就能與另一個重合；還有一種是頂點的順序相反，這時将其中一個反射（翻折）就能得到另一個。上面的變換就是平移、旋轉和反射變換，它們是三種基本的全等變換。反射變換也叫作軸對稱變換，即一個圖形經過反射變換後得到另一個圖形，這兩個圖形成軸對稱。

　　具體的什麼叫“平移”“旋轉”和“反射”，我們不給出數學上嚴格的定義，在此直觀地給予解釋，并指出這些變換的基本要素。

　　如上圖，如果原圖形中任意一個點到新圖形中相對應點的連線方向相同，長度也相等，這樣的全等變換稱為平移變換，簡稱平移。也就是說，平移的基本特征是，圖形平移前後“每一點與它對應點之間的連線互相平行并且相等”。可以看出，确定平移變換需要兩個要素：一是方向，二是距離。

　　如上圖，旋轉的基本特征是圖形旋轉前後“對應點到旋轉中心的距離相等，并且各組對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉的角度”。可以看出，确定旋轉變換需要兩個要素：旋轉中心、旋轉角(有方向)。

　　如果連接新圖形與原圖形中每一組對應點的線段都和同一條直線垂直且被該直線平分，這樣的全等變換稱為反射變換。垂直平分對稱點所連線段的直線叫作對稱軸。也就是說，反射變換的基本特征是“連接任意一組對應點的線段都被對稱軸垂直平分”。顯然，确定反射變換的關鍵在于找到對稱軸。

　　再來看學生問過的例子，比如，說摩天輪的轉動，它看起來既像平移，又像旋轉。實際上，這個例子不是一個好例子。為什麼這麼說呢？因為它過于複雜了，說不清楚的東西太多了。比如，把人抽象成一個點的話，似乎可以看成繞着摩天輪中心的旋轉運動。但是，在數學中單純地讨論一個點的運動沒有多大意義，實際上變換是平面上每個點都做同樣的運動。如果把人抽象成一個三角形、或者一個長方形，你又會發現它不是旋轉了。有的文章是這麼認為的，如果靜态地看運動前和運動後的圖形，人的運動可以看成能夠通過平移得到，這是有道理的。總之，這個問題太複雜了，我們不建議讓學生去讨論這個問題。又如，窗簾拉動這件事，也是很麻煩的。如果隻看窗簾的一個邊，确實是在平移；但是要把窗簾看成一個整體，又可以把它看成一種壓縮的變化。所以這些例子都不是好的例子。再如蕩秋千、鐘的擺動，如果把秋千和鐘擺抽象成平面圖形或點，可以看成是平面圖形的旋轉，當然，我們不考慮蕩秋千的人在蕩秋千時的形體變化。但無論如何，這些現象讓小學生來讨論都太過複雜。對于這部分内容，小學生通過操作活動直觀感受到，平移就是沿着一定的方向移動了一定的距離；旋轉就是繞一個點轉動一定的角度，就可以了。

　　所以，在學習的開始，教師應該鼓勵學生從具體情境中去理解三種變換，但是這時候選擇的例子要簡潔一些，并且說清楚關注的是什麼。當學生有了經驗以後，就可以盡快地進入到圖形的變換的讨論中。

　　四年級下冊︱教材在小數的認識和加減法單元，将原“小數的意義”和“測量活動”調整為 “小數的意義（一）”“小數的意義（二）”“小數的意義（三）”，這樣做的目的是什麼？

　　本冊的“小數的意義”是在三年級結合實際情境初步認識小數的基礎上，從一般意義上對小數意義的再認識，其關鍵是要在小數與十進分數、整數之間建立起聯系。教材這樣調整的價值主要體現在以下幾點：

　　首先，教材通過調整，将小數意義的學習設計為逐層遞進的四個課時，即：

　　第一課時，旨在借助元角分、長度原型和直觀模型使學生體會到小數與十進分數之間的關系；

　　第二課時，旨在擴大小數的應用背景，加深學生對小數的理解；

　　第三、四課時，旨在認識小數數位的名稱及它們之間的關系，借助計數器介紹小數部分的數位名稱及數位的相互關系，使學生進一步理解小數的意義。

　　通過安排這四個課時，将小數意義的認識拓展到生活中更廣泛的領域，幫助學生有層次地理解小數的意義。

　　其次，教材從不同角度為學生提供了多個實物原型和直觀模型，從而幫助學生更好地理解小數，其具體表現如下：

　　（1）在小數的意義（一）中，教材呈現了元角分、長度原型和分數直觀模型；

　　（2）在小數的意義（二）中，通過測量引入直尺的直觀模型，即引入了數線；

　　（3）在小數的意義（三）中，呈現了數位順序表。

　　這些原型和直觀模型對于學生體會小數與十進分數的關系，以及認識小數各個數位的位值意義，發揮了重要的作用。

　　五年級下冊︱整數乘分數與分數乘整數的意義相同嗎？

　　在以往的教學中，分數的意義很明确，幾個幾分之幾就用分數乘整數，一個數的幾分之幾則用整數乘分數，但在五年級下冊教材第22頁“分數乘法（一）”中，3個1/5是多少，是用整數乘分數來列式，這樣是不是表明整數乘分數與分數乘整數的意義相同呢？

　　這實際上是乘法算式是否要區分“被乘數”和“乘數”的問題。根據《義務教育數學課程标準（實驗稿）》及《課程标準（2011年版）》，小學數學教材中已經不再區分乘數和被乘數。例如在整數乘法的運算中，算式“4×6”既可以表示6個4相加，又可以表示4個6相加，即在不涉及具體問題情境下，可以代表兩個意義，4×6＝6 6 6 6或4×6=4 4 4 4 4 4都是對的。反過來，6 6 6 6既可以寫成4×6，也可以寫成6×4。同理，4 4 4 4 4 4 既可以用4×6表示，也可以用6×4表示。也就是一種意義可以用兩種方式表示。但在具體應用問題的情境中，不同的算式可以表示相同的含義,比如“有6個小朋友，每人有4支鉛筆，一共有多少支鉛筆？”，要解決這個問題，可以列出算式4×6或6×4，但實際的意義都是表示 6個4相加。

　　在解決實際問題教學過程時，教師要注意讓學生理解各數的意義，鼓勵他們用自己的語言表達算式的具體含義，但列成算式不要區分“被乘數”和“乘數”，即不要強調“被乘數” 和“乘數”書寫位置上的人為規定。同樣，在分數乘法的内容中，教材也不區分乘數的位置，處理方法和整數一樣，也就是說分數乘整數不但可以表示幾個相同分數的和，還可以表示一個數的幾分之幾是多少。

　　這樣的處理，不僅符合課程标準的精神，同時也減少了學生在學習中的“人為”障礙。學生在學習乘法時最重要的是體會乘法的意義，如果過分強調“被乘數”和“乘數”的區别，一是使學生将主要精力放在了這種區分上，可能造成對乘法的意義學習的忽略；二是區分二者對學生來說一直是難點，這加重了學生不必要的學習負擔，很多學生是能夠在具體情境中運用乘法正确地解決問題，卻因為“被乘數”和“乘數”的順序問題而導緻“出錯”。

　　在運算教學中，教師要讓學生經曆從實際情境中抽象出運算的過程，要關注學生對運算意義的理解過程。教師要幫助學生建立實際問題與數學運算的内在聯系，使學生通過解決實際問題，産生直覺經驗，找到數的運算的現實背景，促進學生理解運算的含義及其性質，并能自覺地運用于解決應用問題之中。在教材中，無論是對“分數乘法”的學習還是其他運算的學習，都十分重視加強學生對運算意義的理解。

　　需要指出的是，目前市場上有一些練習冊，由于不了解我們的編寫理念，會出現類似“3×1/5和1/5×3的意義、算法、結果是否相同”這樣的題目，這不是一個好題目，建議教師給予學生正确的引導，不要讓學生在這些問題上浪費太多的時間。

　　在回答這個問題的同時，筆者看到了上海市浦東新區教育學院曹培英老師的一篇文章《關于乘法運算意義與乘法交換律的教學處理》，很受啟發。文章在最後談到的一段文字非常有道理，特摘錄部分内容與大家分享：

　　事實上，面對用情境圖或文字表達的實際問題，如：

　　共 ？隻或 “每袋有6隻橘子，4袋一共有幾隻橘子？”

　　學生一般都能分清6×4或 4×6中的6表示每袋6隻橘子，4表示有4袋。但再進一步要求學生概括：“這是求4個6，而不是求6個4”，就會有學生感到困難。于是，為了幫助這些學生，引進了各種各樣的練習（包括所謂的“文字題”），越練越“玄”，越練要求越高……以往教學中，教學要求把握失當，也是造成或者擴大“人為教學障礙”的重要因素之一。因此，正确定位“乘法初步認識”的教學目标，是解決問題的一條配套措施。否則，即使從一開始就讓學生認識乘法的可交換性，并取消書寫位置的限制，仍會存在“人為的教學障礙”。

　　六年級下冊︱為什麼教材鼓勵學生經曆“類比猜想—驗證說明”的過程，探索圓柱和圓錐體積的計算方法？

　　我們以圓柱體積的内容安排為例。教材安排了探索圓柱體積計算方法的内容，引導學生經曆“類比猜想—驗證說明”的探索過程，體會類比、轉化等數學思想方法。教材先呈現了“類比猜想”的過程，由于圓柱和長方體、正方體都是直柱體，而且長方體與正方體的體積都等于“底面積×高”，由此可以産生猜想：圓柱體積的計算方法也可能是“底面積×高”。在形成猜想後，教材又引導學生“驗證說明”自己的猜想。教材中呈現了兩種“驗證說明” 的方法：一種是用硬币堆成一堆，用堆的過程來說明“底面積×高”計算圓柱體積的道理，這實際上是“積分”思想的滲透；另一種方法是“轉化”思想的滲透，即把圓柱通過“切、拼”轉化為長方體，再根據長方體體積的計算方法推導出圓柱體積的計算方法。

　　要求讓學生經曆“類比猜想—驗證說明”來探索體積計算方法的過程，主要是由于這樣的學習過程的重要性。數學發現通常都是在類比、歸納等方法進行探索的基礎上，獲得對有關問題的結論或解決方法的猜想，然後再設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的。當然，通過合情推理得到的猜想還需要進一步證明。在小學階段不要求給出嚴格的證明，隻要學生能夠從不同角度說明其合理性即可，可以說是驗證說明。

　　所謂類比，就是由兩個對象的某些相同或相似的性質，推斷它們在其他性質上也有可能相同或相似的一種推理形式。運用類比的關鍵是尋找一個合适的類比對象。圓柱和圓錐的體積與已學習過的長方體和正方體的體積存在諸多相似點，為進行類比提供了良好的基礎。可能在學習長方體和正方體的體積時，學生已經初步理解了體積和容積的含義，掌握了長方體和正方體的體積計算方法，這些知識都是學習圓柱體積的基礎，特别是長方體和正方體的體積計算公式“底面積×高”對探索圓柱的體積計算方法有正遷移作用。這就使得圓柱和圓錐的體積學習有了合适的類比對象或者說類比的基礎。

　　海韻教育丨新世紀小學數學（下冊）常見問題答疑（1）