高數無窮級數求和常用公式-tft每日頭條

初探

大一的學生上高數的時候，往往會被老師告知，當s<=1的時候，∑1/n^s是發散的，這個結論在s為實數域是沒錯的，但是一旦把s的範圍解析延拓到複數域，那麼除了s=1以外，s在整個複數域都是收斂的。也就是說，全體自然數之和在s解析延拓後是收斂的，那麼究竟等于多少呢？黎曼告訴我們——全體自然數之和=-1/12！！！（納尼），許多同學或許感覺不可思議，的确，這個式子違背了我們的直覺，正數之和為什麼會等于負數呢？下面小編就用最簡單的方法證明一下為什麼全體自然數之和等于-1/12。

高數無窮級數求和常用公式（為什麼全體自然數之和）1

我們重點來看一下最後推出的方程

高數無窮級數求和常用公式（為什麼全體自然數之和）2

重要的解析延拓方程

我們把s=2代入上面的式子，由于ζ（s）=∑1/n^s，因此∑n=2（2π）^-2*1!*cosπ*∑1/n^2,我們知道cosπ=-1，∑1/n^2=π^2/6，因此求得∑n=-1/12，也就是全體自然數之和等于-1/12！是不是很神奇呀。但是好奇心比較重的小夥伴可能會問，還有什麼發散級數解析延拓後能夠求和嗎？答案是大部分發散級數在解析延拓後都能夠求和。

拓展

關于發散級數求和主要有兩種方法：zeta和borel求和，我重點來講一下zeta求和，因為簡單直觀，下面我先給出zeta求和最重要的兩個公式：

高數無窮級數求和常用公式（為什麼全體自然數之和）3

非交錯級數求和

高數無窮級數求和常用公式（為什麼全體自然數之和）4

交錯級數求和

有了這兩個公式，我們就可以随心所欲地對一些簡單的發散級數進行求和了：

高數無窮級數求和常用公式（為什麼全體自然數之和）5

簡單發散級數求和

borel求和如下：

高數無窮級數求和常用公式（為什麼全體自然數之和）6

運用borel求和我們可以得到下面更複雜的發散級數求和的式子

高數無窮級數求和常用公式（為什麼全體自然數之和）7

複雜發散級數求和

總結

看完本篇文章的讀者千萬别以為發散級數真的能夠求出它的和，因為隻有在把定義域擴大到超出實數域才有可能得到發散級數的和，而且這些和是不可以随意進行疊加計算的，當你把兩個和加起來得到一個新的和，你就已經犯了知識性錯誤，因為每個級數解析延拓的本質是要把點連成曲線按原來的趨勢畫下去，當你加入了一個新的級數，那你就已經破壞了這個曲線的趨勢了。那麼這些發散和有啥用呢？最近國外物理學家就發現了發散和能夠用來解釋電子運動和宇宙弦等複雜的物理問題，小編相信，随着人類深入研究，發散和終究能夠被運用到應用數學和實踐物理當中。