第一單元 二次根式

1、二次根式

二次根式

二次根式必須滿足：

• 含有二次根号
• 被開方數a必須是非負數。

判斷二次根式

2、最簡二次根式

若二次根式滿足：

• 被開方數的因數是整數，因式是整式；
• 被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；
• 分母中不含根号

這樣的二次根式叫做最簡二次根式。

最簡二次根式

3、二次根式的性質

二次根式性質

4、二次根式混合運算

二次根式的混合運算與實數中的運算順序一樣，先乘方，再乘除，最後加減，有括号的先算括号裡的（或先去括号）。

二次根式混合運算

第二單元 一元二次方程

1、一元二次方程

一元二次方程一般形式

2、一元二次方程的解法

• 直接開平方法
• 配方法
• 公式法
• 因式分解法

（1）直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。

具體如下圖所示：

直接開平方（整體思想）

（2）配方法

配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有着廣泛的應用。

配方法公式推導

具體如下圖所示：

配方法示例1

再看一道例題

配方法示例2

（3）公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

公式法步驟

（4）因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

因式分解思維導圖

因式分解相關公式

下圖是十字相乘法分解因式：

十字相乘法步驟

3、一元二次方程根的判别式

根的判别式（非常重要）

①當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根；

②當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根；

③當△<0時，一元二次方程沒有實數根

根的判别情況

4、一元二次方程根與系數的關系

根于系數的關系

也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。

第三單元 旋轉

一、旋轉

1、定義

把一個圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，其中O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。

2、性質

• 對應點到旋轉中心的距離相等。
• 對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。

二、中心對稱

1、定義

把一個圖形繞着某一個點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

2、性質

• 關于中心對稱的兩個圖形是全等形。
• 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。
• 關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。

3、判定

如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那麼這兩個圖形關于這一點對稱。

4、中心對稱圖形

把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果旋轉後的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心。

5、坐标系中對稱點的特征（重點）

坐标系中對稱點的特征

第四單元 圓

一、圓的相關概念

圓

1、圓的定義

在一個個平面内，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A随之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

2、圓的幾何表示

以點O為圓心的圓記作"⊙O"，讀作"圓O"

二、弦、弧等與圓有關的定義

（1）弦

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。

（2）直徑

經過圓心的弦叫做直徑。

直徑等于半徑的2倍。

（3）半圓

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

（4）弧、優弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。弧用符号"⌒"表示。大于半圓的弧叫做優弧（多用三個字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個字母表示）。

弧、優弧、劣弧

三、垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

垂徑定理

推論1：

• 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。
• 弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。
• 平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

垂徑定理推論

四、圓的對稱性

1、圓的軸對稱性

圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。

2、圓的中心對稱性

圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理（重難點）

1、圓心角

頂點在圓心的角叫做圓心角。

圓心角

2、弦心距

從圓心到弦的距離叫做弦心距。

弦心距

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分别相等。

六、圓周角定理及其推論（重點）

1、圓周角

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。

七、點和圓的位置關系

設⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：

點和圓的位置關系

八、過三點的圓

1、過三點的圓

不在同一直線上的三個點确定一個圓。

2、三角形的外接圓

經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。

4、圓内接四邊形性質（四點共圓的判定條件）

圓内接四邊形對角互補。

九、反證法

先假設命題中的結論不成立，然後由此經過推理，引出矛盾，判定所做的假設不正确，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

十、直線與圓的位置關系

直線和圓有三種位置關系，具體如下：

（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；

（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，

（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那麼：

線和圓的位置關系

十一、切線的判定和性質

1、切線的判定定理

經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

2、切線的性質定理

圓的切線垂直于經過切點的半徑。

十二、切線長定理

1、切線長

在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。

2、切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

切線長定理

十三、三角形的内切圓

1、三角形的内切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的内切圓。

三角形的内切圓

2、三角形的内心

三角形的内切圓的圓心是三角形的三條内角平分線的交點，它叫做三角形的内心。如上圖O是三角形的内心。

十四、圓和圓的位置關系

1、圓和圓的位置關系

• 如果兩個圓沒有公共點，那麼就說這兩個圓相離，相離分為外離和内含兩種。
• 如果兩個圓隻有一個公共點，那麼就說這兩個圓相切，相切分為外切和内切兩種。
• 如果兩個圓有兩個公共點，那麼就說這兩個圓相交。

圓和圓的位置關系

2、圓心距

兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。

3、圓和圓位置關系的性質與判定

設兩圓的半徑分别為人r1和r2，圓心距為d，那麼

兩圓外離d>r1 r2

兩圓外離

兩圓外切d=r1 r2

兩圓外切

兩圓相交r1-r2<d<r1 r2（r1>r2）

兩圓相交

兩圓内切d=r1-r2（r1>r2）

兩圓内切

兩圓内含d<r1-r2（r1>r2）

兩圓内含

4、兩圓相切、相交的重要性質(重點)

如果兩圓相切，那麼切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

十五、正多邊形和圓

1、正多邊形的定義

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形和圓的關系

隻要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這個圓的内接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

十六、與正多邊形有關的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。

正多邊形有關的概念

十七、正多邊形的對稱性

1、正多邊形的軸對稱性

正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性

邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規等分圓，再做正多邊形。

十八、弧長和扇形面積

1、弧長公式：n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為：

弧長公式

2、扇形面積公式：

扇形面積公式

其中n是扇形的圓心角度數，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。

3、圓錐的側面積

圓錐的側面積和全面積

其中R是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。