自由向量：

大小和方向（物理：矢量）

向量的數學表示：

把空間中所有的向量的尾部都拉到坐标原點，這樣N維點空間可以與N維向量空間建立一一對應關系：N維點空間中點(0，0，0…0)取作原點，那麼每一個點都可以讓一個向量和它對應，這個向量就是從坐标原點出發到這個點為止的向量。

向量加法的幾何意義：

平行四邊形法則、三角形法則

向量加法的物理意義：

船過河問題：船頭的位移（馬達動力）、流水影響的位移（水速）、真正的位移

向量内積：

向量a和b的長度之積再乘以它們之間的夾角的餘弦；

向量a和b的坐标分量分别對應乘積的和。

向量内積的幾何和物理意義：

向量内積的幾何解釋就是一個向量在另一個向量上的投影的積，也就是同方向的積

特别的，如果一個向量如a是某個坐标軸的單位坐标向量，那麼，兩個向量的内積

就是向量b在此坐标軸上的坐标值。這個結論非常重要，這是傅立葉分析的理論基礎。

其他幾何意義：從内積數值上我們可以看出兩個向量的在方向上的接近程度。當内積值為正值時，兩個向量大緻指向相同的方向（方向夾角小于90度）；當内積值為負值時，兩個向量大緻指向相反的方向（方向角大于90度）；當内積值為0時，兩個向量互相垂直

向量内積的生活解釋：單價向量乘以數量向量，得到總價格

向量内積的物理解釋：一個斜坡上用力F斜上拉一個物體，位移為S（沒有重力的情況下），那麼這個力F所作的功

向量的外積（叉積）：

向量外積的幾何和物理意義：

向量外積的幾何意義：

a × b為一個新生成的向量，這個向量垂直于a 和 b展成的平面（圖中的虛線平行四邊形，由線段oa和ob 所确定的平面）；同樣向量b × a也垂直這個平面，但方向與a × b所指的方向相反，即a × b = b × a;（右手法則）

向量外積的物理意義：

物理上稱為軸向量

1、知道陀螺的原理嗎？高速旋轉的陀螺會定向。陀螺所定義的方向就是矢徑向量r和線速度v叉乘結果角速度ω方向。

2、螺釘，螺釘隻要左右向旋轉即可在螺孔中前進或者後退。用螺絲刀把這棵螺釘按照F 的方向右旋，那麼旋轉時的扭力向量F和矢徑向量r這兩個叉乘的結果即是力矩M的方向，這棵螺釘就會沿着力矩M在螺母孔内前進，反方向就會改變叉積的方向進而退出螺孔（右螺旋螺釘）。也就是力矩或叉乘向量的方向就是螺釘的螺旋前進的方向，這個方向垂直于螺絲刀口和扭力的方向，也就是垂直于被叉積的兩個向量的方向。

3、我們經常騎的自行車，車子靜止的時候我們在車上會摔下來，一旦騎行起來，車子就會平穩而不會左右傾倒，這也是叉積的功勞（與陀螺的原理相同）。

向量混合運算的幾何意義：

向量加法的結合律的幾何解釋

向量數乘的分配律的幾何解釋

向量點積的分配律的幾何解釋

向量叉積的分配律的幾何解釋

（如下圖：面向量，有向面積滿足平行四邊形法則、三角形法則）

向量的混合積的幾何解釋

以向量a,b,c為棱的平行六面體的底（平行四邊形0ADB）的面積S在數值上等于|a×b|,它的高h等于向量c在向量 a×b上的投影，即h =|c| cos a ，所以平行六面體的體積等于

V=Sh=|a×b| |c| cos a

向量的投影和幾何解釋

多個向量在任意軸上的投影和

多個或有限個向量的和在任意軸上投影等于各個向量在同一軸上投影的和。

多個向量在任意平面上的投影和

多個或有限個向量的和在任意平面上投影等于各個向量在同一平面上投影的和。

變向量的幾何意義：

對于用數組

表示的向量a，如果數組中的元素部分或者全部是變量，那麼這個變

向量在n維坐标系下表示的幾何圖形是什麼呢？

二維變向量的幾何圖形

變向量

的幾何圖形表示為一個平面

變向量(x₁,a2)表示的是直線x₂=a₂

變向量

表示的是直線x₂=ax₁ b

變向量(x₁，ax₁)就表示為一條過原點的直線

三維變量的幾何圖形：

這個平面是一個向量空間，一個被常向量

和

所張成的向量平面空間，記為

。因此，我們可以有這樣的一個等價式：

得到的新圖形仍然是個平面，隻是沿着向量(0,0,c) 的方向平移了長度為c的距離。

一個變向量是和一個解析方程或方程組相對應的，因此變向量和方程一樣能表示一個幾

何圖形。實際上，變向量也叫向量函數。