本欄目精選刊登題友有價值的解答，供大家學習交流之用，歡迎各位題友積極參與！任何時候在公衆号中回複期數“第129期”或題目名稱“n的最小值”可查看本期問題及答案！

NO. 129

n的最小值

已知1 2 3 … n的和的個位數字為3，十位數為0，百位數字不為0。求n的最小值。

問題分析解答

方法一：

依題意，設百位數字是一個大于0的整數a，有

1 2 3 … n=n(n 1)/2=100a 3

得，n(n 1)=200a 6，即相鄰兩個自然數的積的個位數為6；易知滿足條件的n的個位數隻能是2或7，可設n=10x 2或10x 7，有

(10x 2)(10x 3)=200a 6 …… ①

或 (10x 7)(10x 8)=200 6 …… ②

由①整理得：2x² x=4a

隻有當x為偶數，且最小為4時滿足題意，則有n=42，a=9。

由②整理得：2x² 3x 1=4a

隻有當x為奇數，且最小為3時滿足題意，則有n=37，a=7。

綜合可知n的最小值為37。

方法二：與方法一類似，可得到n(n 1)=200a 6

兩邊乘以4得：4n(n 1)=800a 24

配方得：(2n 1)²=800a 25

這是一個末兩位數為25的平方數，顯然2n 1的個位數5，可設 2n 1=10x 5，于是 (10x 5)²=800a 25。

整理得：8a=x(x 1)

可知x=7，a=7 最小，從而n的最小值為37。

其他解法可參考“題友解答精選”中題友的解答。

題友解答精選

◎題友 @大成至聖的解答：

根據題意要求可得n(n 1)應滿足個位為6，十位為0，百位為除了0以外的偶數。進一步篩選n的個位隻能是2或者7。當n個位為2時，假設n=10k 2,其中k為自然數，那麼n(n 1)=50k(2k 1) 6，當k=4時滿足條件，此時n=42；再來考慮n=10k 7的情況，n(n 1)=50(2k 1)(k 1) 6，當k=3滿足條件，此時n=37。綜上最小的n值為37。 ps:形如50x的十位為0，百位為除了0以外的偶數的數字要求x能被4整除且不能被20整除。

◎題友 @孤鴻的解答：

由題可得，此題是等差數列前n項和=（n*2 n）/2=Sn.則100<Sn<1000.得14<n<45.再者，要使Sn=?03.即（n*2 n）=?06.在所有數字中隻有個位2和7的數字滿足2×2 2=6、7×7 7=?6。所以滿足的數字是17、22、27、32、37、42。n=17時，Sn=156，n=22時，Sn=253，.n=27時，Sn=378，.n=32時，Sn=543.，n=37時，Sn=703，.n=42時，Sn=903.所以n的最小值是37，最大值是42。

◎題友 @椒鹽五花熊 的解答：

由于1 2=3，因此，隻要找到最小的n使得3 4 ... n是100的倍數即可。這個和是（n 3）（n-2）/2，有意思的是，n 3和n-2正好相差5，這意味着隻要其中一個是5的倍數，另一個一定也是5的倍數，直接滿足了乘積是25的倍數，此時，隻要它們的乘積同時還是8的倍數，就能滿足條件了，由于這兩個數必然一個是奇數，一個是偶數，因此，這個偶數必須是8的倍數，所以，這個偶數一定要是40的倍數，顯然，0不滿足白位數不是0的條件，大于0的最小的40的倍數，就是40本身，而最小的n，也就是40-3=37，經驗算，1 2 ... 37=703，滿足條件。

◎題友 @不機智 的解答：

前兩位1 2=3，已經滿足個位是3，十位是0，問題轉化為從3開始最少加到幾得到整百的數字，可見n的尾數不是7就是2，否則從3開始加無法得到整百。而3 4 5 6 7=25，8 9 10 11 12=50，13 14 15 16 17=75，18 19 20 21 22=100，可見尾數75的湊夠4組、尾數0的湊夠3組即湊成整百。即從3加到37湊成整百，n最小值為37。

本期答案整理：子曰 編輯：子曰

感謝各位題友的積極參與，下期再見！

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