y=f(x)，(x∈D), x0∈D, x0 Δx∈D

Δy=f(x0 Δx)-f(x0)

若Δy=AΔx o(Δx)，稱y=f(x)在x=x0可微

意思是Δy若能表示為一個常數乘以Δx和一個Δx的高階無窮小的和，就稱y=f(x)在x=x0可微

稱AΔx為y=f(x)在x=x0這點的微分

dy|x=x0=AΔx=Adx, dx也是微分

1、可導 <=> 可微

證明：

“=>”:設lim(Δx->0)f(x)=A

則Δy/Δx=A α, α->0(Δx->0)

Δy=AΔx Δxα,

lim(Δx->0)[Δxα/Δx]=0,

即Δxα=o(Δx)

所以Δy=AΔx o(Δx)

所以y=f(x)在x=x0點可微

“<=”:設Δy=AΔx o(Δx)

Δy/Δx=A o(Δx)/Δx

因為lim(Δx->0)[o(Δx)/Δx]=0

所以Δy/Δx=A α, α->0, (Δx->0)

所以y=f(x)在x=x0點可導

2、y=f(x)，x=x0，Δy=AΔx o(Δx)，則A為f'(x0)，A為該點導數

3、y=f(x)，x=x0，Δy=AΔx o(Δx)，則(dy|x=x0)=AΔx=f'(x0)Δx=f'(x0)dx

若y=f(x)可導，dy=df(x)=f'(x)dx

如：

d(x^3)=(x^3)'dx=3x^2dx

d(e^3x)=3e^3xdx

x^2dx=d(1/3*x^3 C)

1/(1 x^2)*dx=d(arctanx C)

4、若y=f(x)在x=x0可微，則：

Δy=f'(x0)Δx o(Δx), dy|x=x0 = f'(x0)dx

=> Δy-dy=o(Δx)

5、設y=f(x)在x=x0可微，則

dy=f'(x)Δx

f'(x)為y=f(x)在x=x0對應點的斜率

1、公式

d(c)=0

d(x^n)=nx^(n-1)dx

d(a^x)=a^x*lna*dx

d(sinx)=cosxdx, d(cosx)=-sinxdx

d(loga(x))=1/(xlna)*dx

......

2、四則

d(u±v)=du±dv

d(uv)=dudv

d(u/v)=(vdu-udv)/v^2

3、複合

y=f(u)

(1)dy=f'(u)du

(2)若u=g(x), dy=f'(u)du=f'(u)g'(x)dx

設y=f(x)在x=x0可微

Δy=f(x0 Δx)-f(x0)=f'(x0)Δx o(Δx)

=>Δy≈f'(x0)Δx

=>f(x0 Δx)≈f(x0) f'(x0)Δx