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對數函數十大經典例子
對數函數十大經典例子
更新时间:2025-04-03 18:22:43

有一類函數的圖像看起來像一隻蝙蝠,一隻倒吊着的蝙蝠,您也可以說它像一個倒吊的吸血鬼。當然,這是為了讓大家對它有更深的印象,老黃給它起的一個名字。其實這類函數是最外層帶絕對值符号的絕對值函數。

對數函數十大經典例子(蝙蝠函數怎麼求極值)1

例如:求f(x)=|x(x^2-1)|的極值.

這樣的函數其實是有兩類極值點的。一類是函數本身的零點,因為f(x)>=0,這是絕對值的性質決定的。所以函數的零點必然在某個鄰域上是最小值點,因此也是整個函數的極小值點。另一類是絕對值内部的内函數g(x)=x(x^2-1)的極值點。不過極值的性質可能發生變化。千萬不要被上面的圖像騙了,錯誤地以為這類極值一定是極大值。其實它有可能是極小值的。

不過有一點可以肯定的是,g(x)的極值,一定也是f(x)=|g(x)|的極值。當g(x)的極值大于0時,則f(x)保持這個極值的性質,極大值仍為極大值,極小值也仍為極小值;當g(x)的極值小于0時,f(x)就會改變這個極值的性質,g(x)的極大值變成f(x)的極小值,而g(x)的極小值就變成了f(x)的極大值。

明确了這些性質,我們再來看看這個問題到底要怎麼解決:

第一步,先确定函數的定義域,連續性和可導的性質。雖然這并不一定是必要的,但卻是非常有意義的。顯然,這裡f(x)是R上的連續函數,且僅在零點上存在不可導的可能性。

第二步,求這類函數的零點,有幾個零點,就得到幾個極小值點。且這些點通常是不可導的。但也未必所有零點都不可導。這是為什麼呢?多動動腦筋,對學習大有好處。比如函數y=|x(x-1)^2|在零點x=1上就可導。您可以作出圖像來,就可以得到印證,但如果想不明白,就要多看看老黃的圖文或視頻作品,其中的原理在老黃的作品中,多處地方有過介紹。

第三步,對函數求導。這時您可能會選擇把原函數先化成分段函數。其實不一定要這樣做,這裡隻需對g(x)=x^3-x求導,再乘以g(x)的符号性質就可以了。

第四步,得到導函數的零點,這些零點是原函數的穩定點。您可以選擇利用極值的第一充分條件,來判斷它們是否是極值點,是什麼極值點。也可以進行:

第五步,求二階導數,檢驗第四步中求得的穩定點。

前兩步所求的是f(x)的第一類極值點,後三步求的是f(x)的第二類極值點。接下來組織解題過程:

解:f(x)是R上的連續函數, 【由于不可導點需要下面求得,所以這裡沒有介紹可導性】

當f(x)=0時, x=0或x=±1.

f’(x)=(3x^2-1)*sgn(x^3-x),【sgn是取符号性質的函數,函數值是1或-1】

f”(x)=6x*sgn(x^3-x) (x≠0, ±1),【不管一階導數還是二階導數,都要限定x≠0, ±1】

當f’(x)=0時,x=±根号3 /3,

又f”(根号3 /3)=-2根号<0, f”(-根号3 /3)=-2根号3<0,

∴f有極大值f(根号3/3)=f(-根号/3)=2根号3 /9. 【第二類極值】

又f(x)≥0,∴f有極小值f(0)=f(1)=f(-1)=0. 【第一類極值】

老黃一直堅持分享知識,從小學到大學的數學知識,偶爾還有英語、化學、物理、語文等知識。不論有多麼不讨喜,都希望能得到大家的多多支持!畢竟知識對誰都是有用的,對那些喜歡學習的小夥伴來說,就更有用了。您的支持能鼓勵老黃更加努力地分享知識,也能使更多人有機會學習到知識,謝謝大家!

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