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sinx反三角函數的泰勒展開公式

更新时间：2026-07-16 11:58:58

本篇我們從二項式定理出發得到正餘弦函數sinX和cosX的無窮級數形式，讓你感受初等數學的無窮魅力。

首先引入棣莫弗公式

如下是棣莫弗公式的基本原理：(cosθ isinθ)^2等于，這裡i等于√-1

sinx反三角函數的泰勒展開公式（從二項式定理出發得到三角函數sinX和cosX的無窮級數形式）1

(cosθ isinθ)^3等于

sinx反三角函數的泰勒展開公式（從二項式定理出發得到三角函數sinX和cosX的無窮級數形式）2

所以運用數學歸納法很容易得到棣莫弗公式的一般形式

sinx反三角函數的泰勒展開公式（從二項式定理出發得到三角函數sinX和cosX的無窮級數形式）3

sinx反三角函數的泰勒展開公式（從二項式定理出發得到三角函數sinX和cosX的無窮級數形式）4

有棣莫弗公式我們很容易得到cos(nz)和sin(nz)複數形式下的等式形式

sinx反三角函數的泰勒展開公式（從二項式定理出發得到三角函數sinX和cosX的無窮級數形式）5

根據牛頓二項式定理

sinx反三角函數的泰勒展開公式（從二項式定理出發得到三角函數sinX和cosX的無窮級數形式）6

就得到cos(nz)和sin(nz)級數展開式

sinx反三角函數的泰勒展開公式（從二項式定理出發得到三角函數sinX和cosX的無窮級數形式）7

我們現在需要進一步處理這兩個級數，這需要巧妙的數學技巧，設定Z是無窮小，則sinZ=Z，cosZ=1，又設定N為無窮大，則Z*N=V就是一個常數，則sinZ=Z=V/N，所以我們就得到正餘弦函數sinX和cosX的無窮級數形式

sinx反三角函數的泰勒展開公式（從二項式定理出發得到三角函數sinX和cosX的無窮級數形式）8

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