作者| yubr編輯| Trader Joe's

經驗表明，我們所生活的這個宏觀世界是一維時間 三維空間所組成的四維時空的有機整體，這一點是狹義相對論的基本觀點，也已經被無數的實驗所驗證（例如，LHC上每時每刻都在以無數微觀粒子“屍骨”來向世人宣示着狹義相對論無以倫比的準确性）。

這裡，我主要想簡單地從經典力學的角度（因為我們現在隻讨論宏觀問題，用經典力學就夠了）證明一下組成我們宏觀世界的空間維數隻能是3，而不能是 4,5,6,… 等更高維度。

我們考慮兩體組成的有心力系統（例如，地球 太陽，或者月球 地球）。

我們知道兩體運動可以等效為質心平動和兩體的相對運動，而質心的平動是平凡的，可以不看。

需要注意的是，兩體的有心力系統，其運動軌迹一定約束在一個二維平面上，這一點和空間的維數沒有關系，所以我們采用極坐标 最為方便，其中 為兩體之間的相對距離。兩體相對運動的拉氏量為

其中 是兩體的約化質量， 是兩體之間的引力勢。因為拉式量不顯含有 ，所以對應循環坐标 的正則動量 一定守恒

當然我們知道這其實就對應角動量守恒。所以拉氏量可以改寫為隻依賴 和 的形式

因為拉氏量不顯含時間，所以這個體系的的總能量（哈密頓量）守恒，

其中有效勢能。

我們假設 處是平衡位置，也就是

然後我們把 在平衡位置附近展開，保留到二階小量，

其中一階導數由于平衡位置的定義而為零。所以總能量為

兩邊對時間微分我們得到

再做一個坐标平移，得到

其中 。

這是一個我們很熟悉的簡諧振子的運動方程，當且僅當 也就是 時，這個體系在微擾下是穩定的。

接下來我們來推導 維空間下球對稱引力勢的具體表達式。從引力勢 滿足的泊松方程出發

引力場強 ，所以 ，兩邊積分

其中 和 分别為 維空間的體元和面元。再利用散度定理

我們得到

因為

所以

其中 為 維空間的立體角。從而

這裡利用了球對稱引力場的場強和角度無關的結論。所以 維空間的球對稱引力場強

下面來求 維空間立體角 的表達式，利用

其中 是我們熟悉的Gamma函數。所以 ，當 時，就回到我們熟悉的三維空間的立體角 。所以最後我們得到 維空間的球對稱引力場強

其中 是一個隻和空間維數有關的函數，且總是正的。

例如，對三維空間， ， ，這正是我們熟悉的萬有引力定律的平方反比表達式；對于四維空間， ，所以 ，等等。所以 維空間下球對稱引力勢的表達式為（取無窮遠為勢能零點）

兩體系統的引力勢能為

其中 是一個隻和維數有關的函數，隻要 時， 就是正的，引力勢就是吸引勢。

讓我們繼續回到上面的兩體有心力系統中來。

有了任意維空間球對稱勢能的表達式，我們就可以計算穩定性條件對于空間維數的限制了，

将其帶入穩定性條件 中，同時利用條件 ，最後得到

因為引力勢總是吸引勢，所以 ，所以由上式可得 。另一方面，低維的空間從生物學角度已經被禁戒掉了，從而隻能有

所以，我們宏觀世界的空間隻能是三維的，如果空間維數大于三維，體系将在微擾下不穩定——比如你輕輕地吹一口氣，整個太陽系就會灰飛煙滅。

以上的推導略顯繁瑣，下面用一個更簡單的方法進行論證。

經典力學中有一條定理被稱為位力定理（Virial theorem），它告訴我們對于一個具有 個自由度的體系，其平均動能和平均勢能之間具有如下關系

其中 和 分别表示動能和勢能，尖括号代表取平均值。通常地，勢能總是坐标的 次齊次函數，即

其中 為任意常數。對于齊次函數 ，我們可以使用高等數學中的歐拉齊次函數定理，

從勢能的表達式 我們得到 ，所以 ，代入位力定理中，我們得到

如果 ， ，總能量的平均值 。

因為動能的平均值總是正的，所以總能量的平均值總是負的，這時系統是穩定的。

倘若空間不是3維，會發生什麼？

• 如果 ，那麼 ，即總能量的平均值是零或正數，此時體系都是不穩定的。

• 如果 ，則動能的平均值是零，這是一個死氣沉沉的世界。

• 如果 ，動能和勢能的平均值将同号，但是一個物理系統的動能平均值總是正的，所以總能量的平均值也是正數，這樣的系統是不穩定的。

所以，利用位力定理，我們可以更加簡單地證明，宏觀世界的空間維數隻能是3。

最後，我想再簡單提一下高維理論。在各種額外維（Extra dimensions）的物理模型中，我們的空間維數是可以大于三維的。

但是這并不和我們上面的結論矛盾，因為上面始終論證的都是宏觀世界。

而所有的額外維模型，其超過三維的空間維度都是蜷曲在極小的空間尺度中的（當然也就意味着必須要超高的能标才有可能探測到其帶來的效應）。

當涉及到宏觀系統和宏觀距離的時候（此時的能标都是極低的），那些額外的維度并不會對萬有引力和庫侖力的平方反比表達式有明顯的修正（這一點要感謝同辦公室的美女博後Kimiko幫忙指出），因而并不會對我們的宏觀世界的穩定性造成任何影響。

1. 微擾下穩定的意思是說，如果我們對正在太陽的橢圓軌道上運行的地球做一個徑向的小擾動，那麼地球将在平衡位置附近來回振蕩着做簡諧振動；反之如果體系在微擾下不穩定，那麼你對着地球沿徑向方向吹一口氣，地球就直接飛到十萬八千裡以外去了。一個很好的類比是，想象一個靜止在山頂的球（此時勢能處于極大值，勢能的二階導數小于零）和一個靜止在谷底的球（此時勢能處于極小值，勢能的二階導數大于零），兩個球都處在平衡位置（因為此時合力為零，球靜止），但是輕輕碰一下後，山頂的球會直接滾下來，而谷底的球隻會在谷底附近來回振蕩，因此前者是在微擾下不穩定的，後者是在微擾下穩定的。

2. 接下來這一段是比較嚴格的推導，如果你不想看，也可以直接通過能量守恒定性地得到結論。在三維空間，面積正比于距離的平方，所以為了保證能量守恒，引力場強必須按照反比于距離平方的規律衰減；而在 維空間，面積是正比于距離的 次方，所以為了保證能量守恒，引力場強必須按反比于距離的 次方的規律衰減。

3. Gamma函數的定義為 ，從定義出發，可以推出Gamma函數的幾個有用的性質，例如 ，， 等。

4. 關于Virial theorem的證明，可以參看一般的經典力學的教科書，例如Goldstein的Classical Mechanics。

5. 關于這一點，可以考察一個氫原子體系。我們知道氫原子中，電子被原子核束縛在核内運動，其總能量是負的，這意味着我們需要從外界輸入一定的能量給電子才能将其電離出原子。如果電子的總能量是零，這意味着我們隻要輕輕地碰一下電子，它就可以掙脫原子核的束縛；如果電子的總能量為正，它直接就跑到無窮遠去了，根本不可能被原子核束縛。不管是以上哪種情況，都沒辦法形成穩定存在的原子。

來源：yubr

編輯：前進四

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