以前跟一個排名挺不錯的公立學校的數學聊過高三數學一輪複習時的進度，一輪複習事無巨細，無論題型難易程度如何，隻要曾經在高考中考過就必須給學生講到，因為誰也無法預料下一年高考中會不會出現，萬一考到了而老師沒講到或者一帶而過，那麼誤人子弟的罪名就算逃脫不了了，學生的角度和立場永遠和老師是不同的，互相體諒一下吧。

其實高中數學中很多貌似超綱的内容都有學過，隻是當時并不知道或者沒有把與已知的内容産生關聯性，老教材在必修二中學習直線與圓的時候會講到圓的切點弦方程的求法，即便是新教材在選擇性必修一直線與圓中依舊有這個内容，而過圓外一點P向圓作兩條切線，切點設為A,B，求過A,B兩點的直線方程高三的學生能不知道？在2020年全國1理科數學的第11題有一個這樣的題目，如下：

題目用到了圓的切點弦方程，如果不知道該方程怎麼寫，那麼本題大概率在規定時間内是解不出來的，如果将圓的切點弦擴展為橢圓，抛物線外一點作曲線的兩條切線，求過兩切點直線方程，這本質上和圓的切點弦方程的求法沒有很大區别，将與此類似的内容整合起來這就是阿基米德三角形的應用了。

關于高中數學中抛物線與阿基米德三角形相關的内容最早在1998年就有期刊雜志提到了，由于電子版收錄的原因，最早發布的會更早，如下圖所示：

從1998年至今，高考中考查與此相關的内容不下十次，最近的一次在2021年全國乙卷理科數學，即便不知道阿基米德三角形這個概念，圓或抛物線的切線問題總歸會是了解的，“筷子夾蛋”問題總會是了解的，二次曲線方程思想總會是了解的，圓錐曲線中與切線切點弦相關的題目肯定也遇到過做過的，所以别再說這是一個特定題型考過就不會再考的這種言論了。

上次内容中提到的與抛物線有關的阿基米德三角形的結論大多用在考試中的小題裡面，由于其中涉及太多結論，在大題中并不能直接使用，但可輔助判定省略冗餘過程，今天就以曾經考過的六道題目為例看看這個知識點的具體應用。

這是2018年新高考3卷的第16題，根據上期給出的性質可知點M在準線上，設出AB的中點N，則MN所在直線與y軸垂直，由于涉及中點和斜率，利用中點弦結論可輕易求出AB所在直線的斜率。

這是2014年的題目，根據結論可知AF和BF垂直，可直接求出BF所在直線的斜率。

本題考查上期中的第6個性質，|AF|·|BF|=|PF|²，點P所在直線已給出，隻需求出點F到直線的距離即可，如不用結論，則需設出A,B兩點坐标，用兩縱坐标的和與積表示線段的長度，設出P點坐标，用P點坐标表示出AB所在直線方程，然後與抛物線聯立，求出和與積，根據點P在已知直線上轉化為一個變量求最值即可。

題目可以當成與線段長度有關的另一個結論，AB所在直線過焦點，則點P在準線上，P點的橫坐标未知縱坐标已知，所求PF長度隻與P點橫坐标有關，而P點橫坐标和AB中點的橫坐标相同，即需根據AB長度求出AB中點的橫坐标，利用AB的長度可求出AB中點的縱坐标，利用中點弦公式可确定出AB中點橫縱坐标之間的關系，表示出AB中點橫坐标後代入即可求出PF的長度。

第5題和第4題相似，用AB中點橫坐标表示出AB的長度，用AB中點橫坐标表示出PF的長度，最後用不等式即可求出所求式子的最值。

第6題是2021年全國乙卷理科數學，點P在确定的圓上，則P點橫縱坐标的取值範圍可知，設出點P的坐标，利用點P的坐标表示出AB所在直線的方程，然後按照的底乘高除二表示出三角形的面積，利用圓的方程将面積表示為一個變量的函數，求最值即可，過程如下：

但根據阿基米德三角形的相關結論，可用A,B兩點坐标表示出P點的橫縱坐标，再表示出AB所在直線的方程，用弦長公式求出AB的長度和點P到直線AB的距離，最後求出的三角形PAB的面積為A，B兩點橫坐标差的立方除以8p，在小題中可直接使用，過程如下：

在本題中x1,x2差的立方可直接轉化為點P的橫縱坐标，之後求函數最值即可，如下：

最後做一個總結，阿基米德三角形是以下幾個知識的綜合體，包括：

1. 圓的切點弦方程的求法
2. 思維訓練37.抛物線中的切線問題
3. 【圓錐曲線專題】4.中點弦問題中兩種求斜率的方法
4. 圓錐曲線中的雙切線問題整理
5. 對二次曲線系方程用法的一點點補充
6. 圓錐曲線中與極點極線相關的基礎知識