有關中點的定理? 直線植樹問題“加1”法值得商榷的觀點，筆者在《教學月刊2009.3》期、《中小學數學2009.12》期、《廣東教育2011.7-8》期等報刊雜志先後從不同的視角發表了多篇文章，并提出“間距中點”法才是直線植樹問題的真正解法，接下來我們就來聊聊關于有關中點的定理?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

有關中點的定理

直線植樹問題“加1”法值得商榷的觀點，筆者在《教學月刊2009.3》期、《中小學數學2009.12》期、《廣東教育2011.7-8》期等報刊雜志先後從不同的視角發表了多篇文章，并提出“間距中點”法才是直線植樹問題的真正解法。

最近，筆者讀到一篇《植樹公式及例題》的好文章，文章首先介紹現行植樹公式，接着選用了相關例題。筆者對原作者的“例題1”特别有興趣，故摘錄如下：

植樹公式及例題

一、在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形。

1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那麼植樹的棵數應比要分的段數多1，即：棵數=段數 1。

2、如果植樹線路隻有一端要植樹，那麼植樹的棵數和要分的段數相等，即：棵數=段數。

3、如果植樹線路的兩端都不植樹，那麼植樹的棵數比要分的段數少1，即：棵數=段數－1。

4、如果植樹路線的兩邊與兩端都植樹，那麼植樹的棵數應比要分的段數多1，再乘2，即：棵樹=段數 1再乘2。

二、在封閉線路上植樹，棵數與段數相等，即：棵數=段數。

三、在方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹。則棵數=（每邊的棵數－1）×邊數。

例題1，長方形場地：一個長84米，寬54米的長方形蘋果園中，蘋果樹的株距是2米，行距是3米．這個蘋果園共種蘋果樹多少棵？

解法一：

①一行能種多少棵？84÷2=42(棵)．|

②這塊地能種蘋果樹多少行？54÷3=18(行)．

③這塊地共種蘋果樹多少棵？42×18=756(棵)．

如果株距、行距的方向互換，結果相同：

(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)．

解法二：

①這塊地的面積是多少平方米？

84×54=4536(平方米)．

②一棵蘋果樹占地多少平方米？

2×3=6(平方米)．

③這塊地能種蘋果樹多少棵？

4536÷6=756(棵)．

當長方形土地的長、寬分别能被株距、行距整除時，可用上述兩種方法中的任意一種來解；當長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時，就隻能用第二種解法來解．（餘下略）

筆者認為《例題1》解答得很具體很完整，而且采用2種方法解答，計算結果完全相同，還分析了長、寬分别不能被株距、行距整除時會出現的情況，提出解決辦法，挺完美的。除此之外，筆者還得感謝原作者對“間距中點”法的驗證之大功。

原作者首先提到的是《在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形》， 即“加1”法，“不加不減”法和“減1”法。原文是：

1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那麼植樹的棵數應比要分的段數多1，即：棵數=段數 1。

2、如果植樹線路隻有一端要植樹，那麼植樹的棵數和要分的段數相等，即：棵數=段數。

3、如果植樹線路的兩端都不植樹，那麼植樹的棵數比要分的段數少1，即：棵數=段數－1。

鑒于原作者的解法一：①一行能種多少棵？84÷2=42(棵)

筆者不禁要問：“一行”是不是屬于線段？“一行能種多少棵？”是不是屬于“在線段上的植樹問題”？如果是屬于在線段上的植樹問題，那麼為什麼不采用上述規定的3種解法之一種呢？再說，“ 84÷2=42(棵)”的列式及答案何據而來？

也許有人會說：“這裡是既不‘加1’也不‘減1’，直接等于段數。”（盡管此回答與現行數學教材直線植樹問題解法相矛盾，還是繼續讨論）筆者認為42段沒有錯，42棵也沒有錯。可是你無法把42棵樹栽種在84米長的一行内。若兩端都栽種，則需要43棵；若兩端都不栽種，隻要41棵，這兩種方法都行不通。隻栽一端剛好42棵，行嗎？答案也是否定的。請問你從哪一端開始栽種？你栽了這一端必然空着另一端，在兩端中必定會空着一端，對嗎？這是現行數學教材采用“端點”法解答直線植樹問題的弊端。

那麼，能不能把樹栽種在每一段的中間啊？當然可以。哈哈，這不是對接上了作者提出的“間距中點”法思路嗎？“間距中點”法即從該植樹段(線段)兩端點的任意一端的第一個間距中點處植下第一棵樹，以下依次按間距長度種植，這樣，距另一端的最後一個間距中點處就剛好植完了計劃所植的樹。另一方面，從算理上分析，可以先求出該植樹段含有多少個這樣的間距，然後在每個間距的中點植樹。用這種方法植樹，植樹棵數正好等于間隔數，公式是：植樹總長度÷間距長度=植樹棵數（間隔數）。按照“間距中點”法種植，把每一棵樹都栽種每一個間距的中點，即分别栽種在42個段的中點，也就是剛好42棵樹。

每行栽種42棵的結果終于出來了，該栽種多少行呢？54÷3=18(行)的答案成立嗎？筆者認為，18行的行數沒有錯，關鍵是确定每行栽種的位置關系，假如每行栽種42棵，而這18行在這個長方形中該如何落實呢？哪裡為第一行呢？也得依靠“間距中點”法。按“間距中點”法思路，樹應該栽種在“行距中點連線與株距中點連線的交點”。那麼，這個長84米，寬54米的長方形地塊剛好畫出756個交點，也就是可以栽種756棵蘋果樹。而且，這756個交點與原作者解法二中2×3或3×2的756個長方形的2條對角線交點分别相重合，因此，不但植樹棵數相同而且植樹點也相重合。

筆者認為，在直線（線段）植樹問題上，“間距中點”法與“加1（減1）”法的分歧焦點在于栽種點的位置關系上，說到底是“中點”法與“端點”法的探讨。

采用“間距中點”法解答植樹問題，能與封閉植樹問題相匹配（植樹棵數等于間隔數），還與平面植樹問題相印證（前面所述）。“間距中點”法是直線植樹問題真正的解法。