——以一節“函數的單調性”的教學為例

許興震（江蘇省揚州市邗江區教育局教研室）

摘要：針對某些課堂中的教學目标定位偏差較大的現象，以“函數單調性”的教學為例，說明隻有加強對新課标的研究，尤其需要加強對“過程與方法”“情感态度價值觀”的研究，并深入領會教材的編寫意圖，才能在教學中有機協調地推進三維目标，發揮數學教學的育人功能．

關鍵詞：教學目标；偏差分析；單調性

數學概念是學生學好數學知識、掌握數學思想方法、提高思維能力的基礎，同時又是培養學生科學态度和理性精神的基本要素．而數學概念的概括性、抽象性對剛剛進入高中學習的學生來說具有一定的挑戰性．為此，在概念教學中我們要充分揭示數學概念的發生、發展和形成過程，體會蘊含在其中的數學思想方法，發揮概念教學的育人功能．實踐證明，要在課堂教學中真正落實上述要求，需要教師對教學目标做好準确定位．近期，筆者參加了市教研室組織的對高一年級教學視導活動，從所聽的四節課題同為“函數的單調性”的教學情況看，不少教師對教學目标的定位還存在着明顯的偏差，下面筆者選取其中典型的一個教學案例進行分析，與同行切磋．

一、主要教學環節實錄

環節１：建構概念

二、教材内容簡析

教學目标對教學設計起着統領作用，準确定位“函數的單調性”的教學目标，需要從以下幾個方面進行分析。

1．内容分析

（1）單調性本身層面.

教材中對函數單調性的教學安排分為兩個階段．第一階段：通過對函數圖象的觀察，形成對函數單調性的直觀認識,用自然語言描述函數單調性的特征,用數學符号語言形成函數單調性概念，通過運算嚴格證明函數的單調性；第二階段：用導數研究函數的單調性．高一階段的函數單調性的教學處于第一階段．

（2）函數層面.

單調性和奇偶性、周期性一樣，都是研究自變量變化時，函數值的變化規律．單調性是高中教材中研究的函數的第一個性質．

（3）數學學科層面.

單調性的研究為進一步研究函數的其他性質提供了方法依據，是學習不等式、極限、導數等其他數學知識的基礎，在培養學生科學态度和理性精神方面具有及其重要的意義．

2．學情分析

學生在初中階段對函數單調性有初步的了解，主要是通過數形結合的方法，對函數單調性形成直觀的認識，并能用自然語言描述函數單調性，這是我們教學的起點．函數的單調性是學生進入高中階段以後，研究的函數的第一個性質，也是學生第一次用數學符号語言來描述數學概念，第一次嘗試用代數的方法證明函數的性質．同時，函數單調性的研究過程，為學生今後學習函數其他性質具有較強的遷移作用．

３．重、難點分析

重點：建構函數單調性的概念；難點：理解函數的單調性．

４．目标定位

（1）建構函數單調性的概念。（2）掌握判定函數單調性的方法。（3）在函數單調性概念建構過程中，讓學生體驗知識發生、發展和形成的過程，培養其科學态度和理性精神。（4）初步掌握用數形結合的方法來研究函數．

三、課例中教學目标定位的偏差分析

1.概念的形成過程需要進一步細化

本課例中，在“建構概念”環節，教師明确了本節課的任務，引導學生通過三個層次逐漸加深對函數單調性的認識．第一個層次是讓學生通過對二次函數圖象的觀察，指出遞增和遞減區間．第二個層次是學生用自然語言對函數的單調性進行描述，同時指出，需要用自變量和函數值大小變化的關系來刻畫“遞增”和“遞減”（本意是：如何用數學符号語言刻畫函數的單調性），以達到比學生用自然語言更加精細、嚴謹、規範的要求，指出了給出符号化概念的必要性．在第三個層次，教師用閱讀教材的方式給出了符号化概念．我們認為，這種直接将結果呈現給學生的方式，有“灌”的痕迹，顯得不夠自然．實際上，在函數單調性概念的形成過程中，起主導作用的智力活動方式是學生根據自己的生活體驗，對函數圖象的觀察、對初中學習函數單調性描述性定義的回憶、對函數單調性概念進行符号化的建構．其中，觀察、分析是基礎，抽象、概括是關鍵．學生能否在觀察分析的基礎上抽象出函數單調性的本質屬性并概括出其定義，是這種智力活動方式成敗的關鍵，也是區分學生的學習是否是有意義學習的關鍵．從“數學育人”的角度看，函數單調性概念的建構過程，是培養學生科學态度和理性精神的不可多得的素材．要讓學生全程參與到單調性概念的發生、發展和形成過程，這是因為數學概念教學，不僅在于使學生掌握書本知識，更重要的是讓他們從中體驗數學家概括數學概念的心路曆程，領悟數學家用數學的觀點看待和認識世界的思想真谛，學會用概念思維，進而發展智力和培養能力［1］．

2.例題的選擇值得商榷

判斷、證明函數的單調性是本節課的另一個重點内容．此處是學生第一次用代數方法論證，他們獨立思考和探究的能力還相對較弱．同時，由于教材的安排，在後續的學習中，還要學習用導數研究函數的單調性．随着研究工具的進步，在高一階段感到有難度的問題，用導數來進行研究卻相對容易．因而在高一階段，讓學生掌握判斷、證明函數的單調性的方法，就是讓學生掌握對一些簡單函數在某個區間上的單調性進行判斷和證明的方法，領悟概念的本質．例1中，利用分子有理化判斷正負，技巧性較強．為什麼要分子有理化而不能直接判斷？學生未必能真正理解．例3的教學中，為什麼以1為界就能判斷出代數式1-

的符号？這些對剛剛接觸代數證明的高一學生來講并不容易．例2是根據函數圖象指出函數的單調性，并非本節課學習的重點和難點，也非本節内容中核心的、主幹的知識和方法．所以筆者認為例題的選擇值得商榷，應選擇與本課重、難點吻合且難度合适的題目（後文會給出）．

3.研究方法的一般性需要進一步凸顯

笛卡兒說過,最有用的知識是關于方法的知識.函數的單調性是學生學習函數概念後,研究的第一個函數性質,因而其研究方法具有一般性意義．因此，在建構函數單調性概念的過程中，要體現數學研究的框架和函數性質研究的一般方法．而這些研究方法，就如華羅庚先生所言，數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休．

四、改進教學的幾點建議

3.總結提煉，揭示一般方法

要通過對本節内容的學習，讓學生了解研究函數性質的基本思想方法：由形到數，建立函數單調性的概念；再由數到形，運用函數單調性解決各類數學問題．在課堂小結階段，師生應共同回顧本節課的主要活動程序，為下面研究函數的其他性質奠定基礎．

《普通高中數學課程标準（實驗）》提出了教學的三維目标，雖然有很多教師在做積極地探索和實踐，但不可否認的是還有部分教師對此并沒有太多思考．隻有加強對課标的研究，尤其是對“過程與方法”、“情感态度價值觀”兩個維度的目标進行深入研究，并領會教材編寫意圖，才能對教學目标進行準确的定位，進而真正實現數學教學的育人價值．

參考文獻：

［1］章建躍．數學概念教學中培養創造能力［Ｊ］．中小學數學：高中版，2009（11），封底.

［2］尤善培、許興震．“問題引領，自主建構”教學模式解析［Ｊ］．教育研究與評論（南京），2013（6），33-37.

［3］單墫，李善良．普通高中課程标準實驗教科書·數學（必修1）［Ｍ］．南京：江蘇教育出版社，2012.