在直角三角形中,當平面上的三點A、B、C的連線,AB、AC、BC,構成一個直角三角形,其中∠ACB為直角。對∠BAC(在此簡稱為θ)而言,對邊(opposite)a=BC、斜邊(hypotenuse)c=AB、鄰邊(adjacent)b=AC,則三角函數定義如下:
二、三角函數的變化趨勢及圖像
- 正弦值在 [2kπ-π/2,2kπ π/2](k為實數,下同)随角度增大(減小)而增大(減小),在 [2kπ π/2,2kπ π*3/2] 随角度增大(減小)而減小(增大)
- 餘弦值在 [2kπ-π,2kπ] 随角度增大(減小)而增大(減小),在 [2kπ,2kπ π]随角度增大(減小)而減小(增大)
- 正切值在 [kπ-π/2,kπ π/2] 随角度增大(減小)而增大(減小)
- 餘切值在 [kπ,(k 1)π] 随角度增大(減小)而減小(增大)
三、三角函數誘導公式
四、三角函數公式4.1、三角函數之間的關系
4.2、三角恒等式4.2.1、兩角和與差
4.2.2、和差化積
4.2.3、積化和差
4.2.4、二倍角公式
4.2.5、三倍角公式
4.2.6、n倍角公式
4.2.7、半角公式
4.2.8、輔助角公式
4.2.9、萬能公式
4.2.10、降幂公式
4.2.11、三角和
4.2.12、正弦定理
- 對于邊長為a,b和c而相應角為A,B和C的三角形,有:sinA / a = sinB / b = sinC/c,可表示為:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
- 變形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,其中R是三角形的外接圓半徑
- 三角形的面積:S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB
對于邊長為a、b、c而相應角為A、B、C的三角形,有:a² = b² c²- 2bc·cosAb² = a² c² - 2ac·cosBc² = a² b² - 2ab·cosC也可表示為:cosC=(a² b² -c²)/ 2abcosB=(a² c² -b²)/ 2accosA=(c² b² -a²)/ 2bc
延伸定理:第一餘弦定理(任意三角形射影定理)a=b·cos C c·cos B, b=c·cos A a·cos C, c=a·cos B b·cos A
4.2.14、正切定理對于邊長為a,b和c而相應角為A,B和C的三角形,有:
4.2.15、正切恒等式
對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有:tanA tanB tanC=tanAtanBtanC
五、三角函數固定角常量值六、反三角函數1、定義
反三角函數是一種基本初等函數。它是反正弦arcsin x,反餘弦arccos x,反正切arctan x,反餘切arccot x,反正割arcsec x,反餘割arccsc x這些函數的統稱,各自表示其反正弦、反餘弦、反正切、反餘切 ,反正割,反餘割為x的角。
由于基本三角函數具有周期性,所以反三角函數是多值函數,并不滿足一個自變量對應一個函數值的要求,其圖像與其原函數關于函數 y=x 對稱。
為限制反三角函數為單值函數,将反正弦函數的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作為反正弦函數的主值,記為y=arcsin x;相應地,反餘弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函數y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反餘切函數y=arccot x的主值限在0<y<π。
2、相關公式- 餘角關系
- 負數關系
3. 倒數關系
4. 加減法公式
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