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三角函數的精确計算
三角函數的精确計算
更新时间:2024-12-15 19:24:15
一、三角函數的定義及名稱

在直角三角形中,當平面上的三點A、B、C的連線,AB、AC、BC,構成一個直角三角形,其中∠ACB為直角。對∠BAC(在此簡稱為θ)而言,對邊(opposite)a=BC、斜邊(hypotenuse)c=AB、鄰邊(adjacent)b=AC,則三角函數定義如下:

三角函數的精确計算(人工智能數學基礎1)1

二、三角函數的變化趨勢及圖像
  • 正弦值在 [2kπ-π/2,2kπ π/2](k為實數,下同)随角度增大(減小)而增大(減小),在 [2kπ π/2,2kπ π*3/2] 随角度增大(減小)而減小(增大)
  • 餘弦值在 [2kπ-π,2kπ] 随角度增大(減小)而增大(減小),在 [2kπ,2kπ π]随角度增大(減小)而減小(增大)
  • 正切值在 [kπ-π/2,kπ π/2] 随角度增大(減小)而增大(減小)
  • 餘切值在 [kπ,(k 1)π] 随角度增大(減小)而減小(增大)

三角函數的精确計算(人工智能數學基礎1)2

三、三角函數誘導公式

三角函數的精确計算(人工智能數學基礎1)3

四、三角函數公式4.1、三角函數之間的關系

三角函數的精确計算(人工智能數學基礎1)4

4.2、三角恒等式4.2.1、兩角和與差

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4.2.2、和差化積

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4.2.3、積化和差

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4.2.4、二倍角公式

三角函數的精确計算(人工智能數學基礎1)8

4.2.5、三倍角公式

三角函數的精确計算(人工智能數學基礎1)9

4.2.6、n倍角公式

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4.2.7、半角公式

三角函數的精确計算(人工智能數學基礎1)11

4.2.8、輔助角公式

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4.2.9、萬能公式

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4.2.10、降幂公式

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4.2.11、三角和

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4.2.12、正弦定理
  • 對于邊長為a,b和c而相應角為A,B和C的三角形,有:sinA / a = sinB / b = sinC/c,可表示為:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
  • 變形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,其中R是三角形的外接圓半徑
  • 三角形的面積:S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB
4.2.13、餘弦定理

對于邊長為a、b、c而相應角為A、B、C的三角形,有:a² = b² c²- 2bc·cosAb² = a² c² - 2ac·cosBc² = a² b² - 2ab·cosC也可表示為:cosC=(a² b² -c²)/ 2abcosB=(a² c² -b²)/ 2accosA=(c² b² -a²)/ 2bc

延伸定理:第一餘弦定理(任意三角形射影定理)a=b·cos C c·cos B, b=c·cos A a·cos C, c=a·cos B b·cos A

4.2.14、正切定理

對于邊長為a,b和c而相應角為A,B和C的三角形,有:

三角函數的精确計算(人工智能數學基礎1)16

4.2.15、正切恒等式

對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有:tanA tanB tanC=tanAtanBtanC

五、三角函數固定角常量值

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六、反三角函數1、定義

反三角函數是一種基本初等函數。它是反正弦arcsin x,反餘弦arccos x,反正切arctan x,反餘切arccot x,反正割arcsec x,反餘割arccsc x這些函數的統稱,各自表示其反正弦、反餘弦、反正切、反餘切 ,反正割,反餘割為x的角。

由于基本三角函數具有周期性,所以反三角函數是多值函數,并不滿足一個自變量對應一個函數值的要求,其圖像與其原函數關于函數 y=x 對稱。

為限制反三角函數為單值函數,将反正弦函數的值y限在-π/2≤y≤π/2,将y作為反正弦函數的主值,記為y=arcsin x;相應地,反餘弦函數y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函數y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反餘切函數y=arccot x的主值限在0<y<π。

2、相關公式
  1. 餘角關系

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  1. 負數關系

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3. 倒數關系

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4. 加減法公式

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