1.同學們在高中學習函數的困境

聽到學生笑話：買菜需要用函數？老師覺得震驚！知道有人認可這種言論，老師覺得痛心！

其實，剛學習集合和不等式的時候，同學們對數學的抵抗情緒并沒有那麼嚴重，因為集合簡單，不等式具象。學集合沒有數學思維，至少不至于考不及格；不等式比大小，生活裡還是很多比大小的場景的，相對比較具體可以感受。

但是到了函數，有些學生已經懵了，雖然小學第一名100分滿分我也不算差能有80分呀！雖然中考還是有滿分150的但我也有110呀！進高中集合與不等式雖然不是考得不好但是也及格了呀！怎麼學到函數20分30分50分都能考得出來了？而那個小學滿分，中考也滿分的，跟我差距沒那麼大的同學，竟然還是90 的好成績！

與其承認自己不如别人，攻擊“學好數學的意義” 不是能更好地接納自我？不是面子上更能挂得住？

這種怪相，我覺得有幾方面的責任：

1. 社會的評價機制不夠豐富。我們不會公開表揚一個人善良，但是我們會把文化課考試成績排名貼在牆報上，我們大部分的中學教育還不會認可音樂、體育、美術、思想品德等方面表現良好的同學。這種風氣裹挾了學生的自我評價，文化課學不好，對摧毀一個學生的自信心，是很有分量的。而一個人沒有自信，就容易不自愛，說出“學習無用論”這樣的話，做出“不珍惜學習的權利”的行為。這是很令人痛心的。
2. 家庭教育的缺失。孩子文化課出現危機，父母很少站在孩子這邊，跟孩子“同仇敵忾”，鼓舞孩子士氣，給挫敗的孩子重建心理防禦。反而父母會站到孩子的對立面，對孩子進行二次攻擊，指責孩子沒有好好學習，劃清責任。這種對立，不僅讓孩子厭惡學習，也會厭惡跟家長溝通學習上的問題。
3. 老師的責任。雖然這個責任往根源挖，還是有社會的問題在裡面，但是數學老師不能講好課确實是一個方面的原因。教書，是老師想要教，而不是社會逼着我們不得不去教。首先，繁重的行政任務占用時間，教學以外的溝通任務消耗熱情（一個孩子跟家長吵次架，老師分别安慰家長和學生，調和矛盾就可能耗費掉兩個小時的時間）；其次，學校的評價機制（及格率、平均分、最高分等等都有要求）促使教師将目光集中在學生的考試成績上，而不是學生這個人上；最後，學生學習水平參差不齊、學習主動性低也給教學帶來極大困難……

當這種教學主動性開始喪失，我們可能仍然是一個合格的老師，拿着從業許可證書合法從業，在教師評比比賽裡拿到合格名次，學習主動性強的學生在我們的知識輸出下仍然能學到知識，對于沒有進步的學生一句“師傅領進門修行靠個人”也可以不必承受道德綁架。但，這都是做給外面看的！多數學習沒有主動性的學生，在這樣的教學下，不是原地踏步，就是不斷退步，越學成績越差，越學越沒意思。

同學們，大家學習高中數學的處境，确實會遇到一些阻力。老師未必是好的老師，父母不見得為自己加油呐喊，你文化課以外的優異沒有人會關注，連同你自己都會忽視。這些阻力，都是真實存在的，但是面對阻力，選擇“迎難而上”還是“妥協認輸”的權利，是你的！沒有人可以強迫你放棄學習，老師不好可以買教輔書自己學，看網課，或者多琢磨那個不懂的知識點！父母不為自己鼓掌，你可以自己給自己鼓掌助威！你的個人主觀能動性，是你的，除了你自己可以掐滅，沒有人能逼你放棄！

2.談談“聯系”的美妙

聯系，雖然同學們都知道萬事萬物之間有聯系，但是并沒有鄭重提出這個詞，也沒有用思維思考過這個東西，可是這個東西，我們太熟悉了，因為它在我們的生活裡，無處不在，毫不陌生。

老師和同學，通過“教學”行為，産生“聯系”。這個聯系的裡，有兩個對象，連接這兩個對象的行為是“教學”。假設站在老師的角度，老師“教”學生，研究“怎麼教”的學科就是“教育學”。教育學告訴老師，提高“老師”這個對象的“表揚的量”，“學生”這個對象的“學習積極性的量”會提升，但是“表揚的量太大”，反而“學習積極性的量降低”。根據這個規律，作為老師的我，就可以通過調整自己 “表揚的量”到“最合适”來影響“學生的學習積極性”。

我想這個例子，同學們應該能完全認可“教育學”這門學科的價值和意義，也會感慨，因為有聯系，調整自己就能影響别人的奇妙。當然，這建立在對“聯系”做了“研究”，知曉這種“聯系”的“規律”，根據“規律”來施加影響，才不會事與願違。

我們生活中的各種各樣的聯系，都會有專門的學科去研究這些聯系的規律。比如農業學科就會研究空氣濕度，土壤肥力對作物産量的影響規律；營銷學科就會研究買家與賣家之間的互動行為；社會學科就會研究人口結構對國民經濟的影響。習得規律，就可以事半功倍，提高工作效率。

所以研究聯系的規律的學科，是有價值的，學習這些學科，是有意義的。

而當一個聯系裡的兩個對象，替換成數字，研究數與數的聯系，以及這種聯系之間的規律，就是高中數學函數版塊的任務。函數，就是數與數之間的聯系的官方稱呼。函數，就是一種聯系。

我聽到過老師拿函數太抽象來把學生學不好函數的責任推到學生身上，說學生的抽象思維不夠。這一點我是詫異的。因為我覺得函數是生活中處處都有的聯系的一種，是非常具體的，可以感受到的一種東西。所以希望同學們先不要信了自己抽象思維差的那套說法，先入為主地認為自己學不好函數，那就額外給自己添加了巨大的學習阻力了。

3.說說考試中的函數

函數示例

反函數示例

3.1定義域

x作為函數這種聯系裡的掌握主動權的量，猶如教的過程中老師掌握主動性，我們稱為自變量，自變量的權限範圍，就是定義域。比如老師不能體罰學生，教的過程施加影響的手段就不可以使用體罰這個措施，那開方運算在實數運算裡被開方數必須為非負數，那麼負數就不能被放進開方運算裡進行計算。

3.2函數性質

我們研究聯系，就是研究聯系裡的兩個對象以及這種聯系的規律，規律是最重要的主體，但是為了保證規律的有效性，我們也需要知道規律的受用對象，所以确定對象是首要的。所以函數裡，優先要考慮的是自變量的定義域，函數性質是最重要的！

我們發現表揚可以促進學生學習積極性，就會好奇表揚的反面“批評”對學習積極性的影響，我們發現适量的批評可以激發學生的廉恥心，過量的批評卻會讓學生自暴自棄。跟表揚的效果很“對稱”，函數的性質裡，也會去研究“對稱性”，具備對稱性的函數，我就可以像諸葛亮一樣待在茅廬裡指點江山。哪怕你問我x在（-2，-1）時函數的問題卻不給該範圍的相應信息，也沒關系。隻要這個函數有對稱性，我可以隻擁有x在（1,2）的信息，就可以推測出x在（-2，-1）的函數信息。

又比如，我剛剛描述增加表揚的量，積極性提升，增加得太多，積極性反而降低。這種性質就是在函數裡就叫“單調性”，這個性質描述因變量随着自變量的增減的變化特征。也就是說如果問題問我因變量的相關信息，我可以從自變量和單調性這兩個信息去推演出因變量的信息。

函數還有一些性質，比如周期性，凹凸性等。都有它們的價值，同學們學會了這些價值，就能處理對應的問題了。

3.3值域

因變量的取值範圍，就叫值域。根據上面介紹函數單調性，就可以知道，求因變量的最小值和最大值，離不開定義域和單調性這兩個信息的搜集。

3.4函數的兄弟姐妹：方程與不等式

這是函數

這個平方運算就是函數，如果我指定因變量為某個定值比如4，這個等号就變成了如下圖，就叫方程。

這是方程

如果我要你找出能使得方程成立的x，這就是再要你“解出方程”。如果我要你找出能使平方以後比4大的數，那就是讓你“解不等式”。如下圖所示：

這是不等式

所以方程和不等式的問題，都可以放在函數視角下來審視，它們不過是函數關系裡指定了一個因變量的值而已。

結束語

學到高中數學的函數版塊，我們才算真正接觸到數學最美妙的地方。同學們不要被外界錯誤的聲音迷失了心智，要帶着快樂的心情，高中數學一定是你能學好的學科的堅定信念，來學習高中函數。真心地希望同學們，可以遇到失敗後勇敢，樹立目标後堅韌，戰術上重視數學腳踏實地，戰略上藐視數學自信自強！

祝願同學們身體健康，學業有成，永遠愛知識！

2020.11.20

易周數學胡老師