在幾何的解題中，當題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時，我們可以将圖形作一定的變換，這樣将有利于發現問題的隐含條件，抓住問題的關鍵和實質，使問題得以突破，找到滿意的解答．圖形變換是一種重要的思想方法，它是一種以變化的、運動的觀點來處理孤立的、離散的問題的思想，很好地領會這種解題的思想實質，并能準确合理地使用，在解題中會收到奇效，也将有效地提高思維品質．

初中圖形變換主要包含翻折、平移和旋轉，我們要通過實驗、操作、觀察和想象的方法掌握運動的本質，在圖形的運動中找到不變量，然後解決問題。

一、利用對稱變換解決問題

通過作關于某一直線或一點的對稱圖，把圖形中的圖形對稱到另一個位置上，使分散的條件集中在一起.當出現以下幾種情況時，經常考慮用此變換：

（1） 軸對稱、中心對稱條件；（2）垂線條件；（3）圖形折疊問題.

翻折（軸對稱）變換：把一個圖形變為關于某一直線為對稱軸的軸對稱圖形，這種變換稱為軸對稱變換，在幾何圖形中，如果是軸對稱圖形，則常添置對稱軸，以充分利用對稱性質，如果遇到不是軸對稱圖形，則常選擇某條直線為軸，補添為軸對稱圖形；或将軸一側的圖形通過翻折反射到另一側，以實現條件的相對集中；

1．（2019春•邗江區期中）如圖，▱ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直線翻折180°到其原來所在的同一平面内，若點B的落點記為B′，則DB′的長為（ ）

A．1B．√2C．3/2D．√3

【解析】本題主要考查了折疊的對稱性以及平行四邊形的性質，解決折疊問題的關鍵是找到對應相等的邊和角，構造新的三角形求解．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BE＝1/2BD＝1．

連接BB′，由折疊性質可知：∠AEB＝∠AEB＝45°，BE＝B′E．

∴∠BEB′＝90°．∴△B′BE是等腰直角三角形．∴BB′＝√2BE＝√2．

又∵BE＝DE，B′E⊥BD，∴DB′＝BB′＝√2．故選：B．

2．（2019春•洪澤區期中）如圖，在正方形ABCD中，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD内，在對角線AC上有一點P，若PD PE的最小值為5，則正方形的面積為（ ）

A．16 B．6.25 C．9 D．25

【解析】此題主要考查了最短路線問題，難點主要是确定點P的位置．注意充分運用正方形的性質：正方形的對角線互相垂直平分．再根據對稱性确定點P的位置即可．要靈活運用對稱性解決此類問題．設BE與AC的交點為點P．如圖，連接PD，則此時PD PE的和最小．∵四邊形ABCD是正方形，∴點D與點B關于AC對稱，∴PD PE＝PB PE＝BE＝5．

又∵△ABE是等邊三角形，∴AB＝BE＝5．∴正方形的面積為25，故選：D．

3．（2019•婺城區模拟）如圖，正方形ABCD的邊長為（√2 1），點M、N分别是邊BC、AC上的動點，沿MN所在直線折疊正方形，使點C的對應點C'始終落在邊AB上，若△NAC'為直角三角形，則CN的長為_____ ．

【解析】由正方形的性質可得AC＝√2×（√2 1）＝2 √2，AB＝√2 1，∠CAB＝45°，分∠NC'A＝90°和∠C'NA＝90°兩種情況讨論，若∠C'NA＝90°，

∴∠AC'N＝∠CAB＝45°∴AN＝NC'，

∵由折疊性質，∴CN＝C'N，∴CN＝AN＝1/2AC＝(2 √2)/2,

若∠NC'A＝90°∴∠ANC'＝∠CAB＝45°,∴NC'＝AC',∴AN＝√2AC'＝√2C'N

∵由折疊性質，∴CN＝C'N,∵AC＝CN AN＝√2CN CN＝2 √2,∴CN＝√2

故答案為：√2或(2 √2)/2

點評：折疊前後的圖形關于折痕成軸對稱.解決這類問題的關鍵首先要把握折疊的變換規律，弄清折疊前後哪些量變了，哪些量沒有變，又有哪些條件可利用；其次要充分挖掘圖形的幾何性質，利用等腰三角形、全等三角形、勾股定理或相似三角形的知識，将其中的數量關系用方程的形式表達出來，由此解決問題.

二、利用平移變換解決問題

把圖形中的某一個線段或者一個角移動到一個新的位置，使圖形中分散的條件緊密地結合到一起.

平移有2種方法：（1）平移已知條件，（2）平移所求問題，把所求問題轉化，其實就是逆向證明.圖形變換題多數是逆向思考的.

平移變換：是指在平面内，将一個圖形上的所有點都按照某個方向作相同距離的移動，這樣的圖形變換叫做平移變換，簡稱平移。平移不改變圖形的形狀和大小。圖形經過平移，對應線段相等，對應角相等，對應點所連的線段相等。當題設中有彼此平行的線段或構成平行的某種因素，又需要将有關線段或角集中到一塊的時候，常常考慮平移變換。

4．（2019春•鹿城區校級月考）如圖，将邊長為12cm的正方形紙片ABCD沿其對角線AC剪開，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若兩個三角形重疊部分（見圖中陰影）的面積為32cm2，則它移動的距離AA′等于（ ）

A．6cmB．8cmC．6cm或8cmD．4cm或8cm

【解析】本題考查了平移的性質．解決本題關鍵是抓住平移後圖形的特點，利用方程方法解題．設AC交A′B′于H，

∵∠A＝45°，∠D＝90°，∴△A′HA是等腰直角三角形

設AA′＝x，則陰影部分的底長為x，高A′D＝12﹣x

∴x•（12﹣x）＝32，解得x ₁＝4，x ₂＝8，

即AA′＝4cm或AA′＝8cm，故選：D．

5（2019春•武勝縣期中）如圖，在平面直角坐标系中，點A，B的坐标分别為（﹣1，0），（3，0），現同時将點A，B分别向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分别得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD．在y軸上存在一點P，連接PA，PB，使S△PAB＝S四邊形ABDC．則點P的坐标為_______ ．

【解答】由平移可得，C（0，2），D（4，2），∴CD＝AB＝4，CD∥AB，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴四邊形ABCD面積＝4×2＝8，

又∵S△PAB＝S四邊形ABDC，∴△PAB的面積為8，即1/2×AB×OP＝8，∴OP＝4，

∴當點P在AB下方時，P（0，﹣4）；當點P在AB上方時，P（0，4），

故答案為：（0，﹣4）或（0，4）．

6．（2019•石景山區一模）如圖，在等邊△ABC中，D為邊AC的延長線上一點（CD＜AC），平移線段BC，使點C移動到點D，得到線段ED，M為ED的中點，過點M作ED的垂線，交BC于點F，交AC于點G．

（1）依題意補全圖形；

（2）求證：AG＝CD；

（3）連接DF并延長交AB于點H，用等式表示線段AH與CG的數量關系，并證明．

【分析】本題考查平移變換、等邊三角形的性質、三角形全等的性質和判定、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵靈活應用所學知識解決問題，正确作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵，屬于中考常考題型．

【解答】（1）補全的圖形如圖1所示．

（2） 證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝CA．∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°．

由平移可知ED∥BC，ED＝BC．∴∠ADE＝∠ACB＝60°．

∵∠GMD＝90°，如圖1，∴DG＝2DM＝DE．

∵DE＝BC＝AC，∴DG＝AC．∴AG＝CD．

（3）線段AH與CG的數量關系：AH＝CG．

證明：如圖2，連接BE，EF．

∵ED＝BC，ED∥BC，∴四邊形BEDC是平行四邊形．

∴BE＝CD，∠CBE＝∠ADE＝∠ABC．

∵GM垂直平分ED，∴EF＝DF．∴∠DEF＝∠EDF．

∵ED∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∠BFH＝∠EDF．∴∠BFE＝∠BFH．

∵BF＝BF，∴△BEF≌△BHF（ASA）．∴BE＝BH＝CD＝AG．

∵AB＝AC，∴AH＝CG．

【方法總結】利用平移解決問題，首先确定平移方向和距離.平移前後圖形全等，隻是位置發生了變化；采用轉化數學思想，圖形上所有點的平移是一緻的；平移結合軸對稱圖形.

三、利用旋轉變換解決問題

幾何圖形的旋轉變化是近年來中考中的考點多與三角形四邊形相結合解決旋轉變化問題要明确旋轉中心旋轉方向和旋轉角關鍵是找不旋轉前後的對應點旋轉前後圖形全等性質解題

把一個圖形繞一個定點（旋轉中心）按一定的方向、一個角度旋轉而得到另一個圖形，這種變換稱為旋轉變換，旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度為旋轉變換的三要素，特殊地，當旋轉角度為1800時，稱為中心對稱變換。中心對稱的代表圖形是平行四邊形系列，旋轉變換的作用也是将相關元素和條件相對集中，為充分運用已知條件提供方便。

7．（2019•增城區一模）如圖，點P為等邊△ABC内一點，若PC＝3，PB＝4，PA＝5，則∠BPC的度數是______ ．

【分析】本題考查了旋轉的性質，勾股定理逆定理，等邊三角形的判定與性質，利用旋轉作輔助線構造出直角三角形和等邊三角形是解題的關鍵．

【解答】如圖，将△BPC繞點B逆時針旋轉60°得到△ABD，

由旋轉的性質得，BD＝PB＝4，AD＝PC＝3，∠BPC＝∠ADB，

所以，△BDP是等邊三角形，

所以，PD＝PB＝4，∠BDP＝60°，

∵AD² DP²＝3² 4²＝25，PA²＝5²＝25，∴AD² DP²＝PA²，

∴△ADP是直角三角形，∠ADP＝90°，∴∠ADB＝60° 90°＝150°，

∴∠BPC＝150°．故答案為：150°．

8．（2019•蕪湖二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點P是AB上一動點，以點C為旋轉中心，将△ACP順時針旋轉到△BCQ的位置，則PQ最小值為（ ）

9．（2019•曆城區一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點D、E分别在AC、BC邊上，DC＝EC，連接DE、AE、BD．點M、N、P分别是AE、BD、AB的中點，連接PM、PN、MN．

（1）PM與BE的數量關系是______，BE與MN的數量關系是______．

（2）将△DEC繞點C逆時針旋轉到如圖2的位置，判斷（1）中BE與MN的數量關系結論是否仍然成立，如果成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；

（3）若CB＝6．CE＝2，在将圖1中的△DEC繞點C逆時針旋轉一周的過程中，當B、E、D三點在一條直線上時，求MN的長度．

【分析】本題屬于幾何變換綜合題、考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類讨論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．

【解答】（1）如圖1中，∵AM＝ME，AP＝PB，∴PM∥BE，PM＝1/2BE，

∵BN＝DN，AP＝PB，∴PN∥AD，PN＝1/2AD，

∵AC＝BC，CD＝CE，∴AD＝BE，∴PM＝PN，

∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，

∵PM∥BC，PN∥AC，∴PM⊥PN，∴△PMN的等腰直角三角形，

∴MN＝√2PM，∴MN＝√2•1/2BE，∴BE＝√2MN，

故答案為PM＝1/2BE，BE＝√2MN．

（2）如圖2中，結論仍然成立．

理由：連接AD、延長BE交AD于點H．∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，

∴CD＝CE，CA＝CB，∠ACB＝∠DCE＝90°，

∵∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，∴∠ACD＝∠ECB，∴△ECB≌△DCA，

∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，

∵∠AHB＝180°﹣（∠HAB ∠ABH）＝180°﹣（45° ∠HAC ∠ABH）

＝∠180°﹣（45° ∠HBC ∠ABH）＝180°﹣90°＝90°，∴BH⊥AD，

∵M、N、P分别為AE、BD、AB的中點，

∴PM∥BE，PM＝1/2BE，PN∥AD，PN＝1/2AD，

∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∴BE＝2PM＝2×√2/2MN＝√2MN．

【方法總結】利用旋轉解決問題，首先确定旋轉中心，旋轉角和旋轉方向.旋轉前後，圖形全等，即對應邊對應角相等.對應邊夾角即旋轉角相等（以圖形某一頂點為旋轉中心）.利用這些等量關系，結合勾股定理，三角形以及相似等知識綜合解決問題.

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