泰勒公式可以幹什麼-tft每日頭條

在高等數學教科書上，“泰勒公式”不僅看起來吓人，而且來得非常突然，

泰勒公式可以幹什麼（泰勒公式有什麼神奇作用）1

泰勒公式

它好像是無緣無故突然從石頭縫裡蹦出來的一個概念，但真相完全不是這樣。

老闆的計算問題

假設我們出身在兩百年前，沒有電子計算器。

我們的老闆遇到一個工程問題，比如橋梁設計，要求我們計算Sin31.1°等于多少，而且要求結果精确到小數點後三位。

按照三角公式的定義，我們得用量角器畫圖，然後用直尺測量邊長，再計算直角邊a除以斜邊c。

泰勒公式可以幹什麼（泰勒公式有什麼神奇作用）2

這不僅麻煩，而且精度說不清，誰都不知道我們畫的直角到底有多直，這種計算方法根本無法定量評估結果的精度。

神奇拆解

現在，有了泰勒展開公式，我們可以直接将Sin x“拆解成一堆”關于x的加減乘除運算（x使用弧度）：

泰勒公式可以幹什麼（泰勒公式有什麼神奇作用）3

sinx的泰勒展開

注意，這裡不是約等于，是“完美的”等于，隻不過，後面是無窮多項累加。

但是，我們也不需計算無窮多項，因為，後面的高次項對于結果的“貢獻”越來越小，因此，我們往往隻需計算前若幹項即可，比如前三項：

泰勒公式可以幹什麼（泰勒公式有什麼神奇作用）4

尾巴直接扔掉，雖然會造成誤差，但餘項都是比x^5高階的無窮小，因此可以得出：

泰勒公式可以幹什麼（泰勒公式有什麼神奇作用）5

使用前三項估算

而且，估算造成的誤差不會超過：

泰勒公式可以幹什麼（泰勒公式有什麼神奇作用）6

展開的優勢

經過這麼一番折騰，即使在沒有電子計算器的情況下，我們通過手算加減乘，也可以“控制”結果的精度。

老闆要求多高的精度，就可以有多高的精度，我們對着泰勒公式，在草稿紙上一直往後計算即可。

泰勒公式本質上是一種“幂級數”，它将複雜的運算，統一成為“代數加減乘除”運算。

因此，泰勒公式可以将運算本身“質的複雜度”，轉換為“量的複雜度”，并進行估算。

計算機中的應用

現代編程語言中，很多庫函數，就是通過泰勒展開實現計算的。

計算機可以算加減乘除，泰勒公式正好提供了“一堆”加減乘除。

歡迎大家捧場我編寫的“信号與系統分析”專欄内容，深入淺出，弄懂傅裡葉變換和經典信号系統分析。