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各位數學高手幫幫忙解幾道題
各位數學高手幫幫忙解幾道題
更新时间:2025-04-26 12:39:46

在今天的故事開始之前,建議大家先閱讀我之前寫的前三篇文章做鋪墊,防止今天的知識點變得突兀和難以理解。

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)1

今天,我們繼續來講級數,話不多說,讓我們看一個有趣的問題

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)2

首先咱們說一下這個n帶個感歎号是什麼意思:

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)3

我們n帶個感歎号稱為n的階乘非常簡單,咱們看一下上面這個運算就明白了。

當然這裡還要個特例,大家要注意一下,它就是個人為定義的運算符号,沒必要在意為什麼。

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)4

我們的本能是想知道上面那個級數的得數是多少,然而級數複雜之處就在于:你應該先判斷它是收斂還是發散的再算也不遲,否則極有可能無功而返。(想了解收斂發散,建議大家先看我的第一篇文章)

于是,我們又要進行數學分析了:

我們把這個問題寫得專業一下:

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)5

我們要研究一下更加廣泛的幂級數形式,來研究它的收斂半徑R是多少,這一就把上面這個問題從特殊情況轉化成一般情況了:

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)6

拓展成幂級數,從特殊到一般

怎麼求這個收斂半徑呢,請出大數學家達朗貝爾來描述這個問題。

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)7

達朗貝爾

達朗貝爾說道,我有一個定理,能幫你求出收斂半徑R:

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)8

達朗貝爾定理

于是,我們直接用上這個公式,進行計算:

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)9

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)10

我們把p倒過來,它就是收斂半徑R:

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)11

這啥意思呢:這個幂級數收斂半徑R無窮大啊,說明它處處收斂我們令x=1,自然又回到了之前的那個等式,這就從一般又回到了特殊,也就是我們的實際情況

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)12

上面啰嗦了一大堆,我們終于證明了上面這個級數是收斂的,它趨于一個定值。那麼就簡單了,老辦法,我們直接上軟件兒算

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)13

我們發現,這個結果趨于1.71828182846......

各位數學高手幫幫忙解幾道題(一個簡單的求和問題)14

1.71828182846......有什麼數學意義呢?它能用分數表示嗎,歡迎大家留言讨論~

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