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高中數學求數列通項公式7

高中數學求數列通項公式7

更新时间：2025-04-04 19:46:19

遞推公式描述了由數列中的已知項獲得數列中新的項的方式，确定新的項所需要的已知項的數目就是遞推公式的階數．如遞推公式

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）1

的階數為

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）2

．要确定一個數列，通常需要給出與階數相同的初始值，如由二階遞推公式給出的數列通常需要給定

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）3

的值．

如果一個數列的遞推公式形如

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）4

其中

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）5

，那麼這個數列稱為二階線性遞推數列．它的通項公式可以用特征根法求出．下面我們以2008年廣東高考理科最後一題的數列為例看看特征根法：

例已知

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）6

，

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）7

，

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）8

，求

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）9

．

分析我們希望将這個遞推公式變形成可以用累加法或累乘法求通項的形式．設

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）10

與遞推公式對比得到

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即

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與

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為一元二次方程

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）14

的兩個根．我們将方程

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）15

稱為遞推公式的特征方程．

一般地，對于遞推公式

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）16

來說，定義它的特征方程為

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）17

，若特征方程有兩個根

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）18

（可以相等，也可以為複根），則有

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）19

從而

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整理得

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）21

于是

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）22

兩邊同時除以

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得

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再通過累加法即求得數列的通項公式．

在前面的問題中

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）25

，于是得到

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）26

從而有

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由累加法（或直接由

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是公差為

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的等差數列）得

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著名的契波那契數列就是二階線性遞推數列．

斐波那契（Fibonacci Leonardo)是意大利著名的數學家，他提出了著名的＂兔子問題＂：如果每對兔子每月繁殖一對小兔子，而這對兔子在出生後第二個月長成大兔子，并可以再繁殖一對新的小兔子，在不考慮兔子死亡的前提下，從一對小兔子開始，到第個月共有多少對兔子．

記第個月有對兔子，那麼我們就得到一個數列

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）31

，如圖：

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）32

因為第

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）33

個月的兔子由兩部分組成，一部分是大兔子，與第

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）34

個月的兔子數相同；另一部分是小兔子，是由第個月的大兔子繁殖得到的，其數量正好等于第個月的兔子數．所以有

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）35

這個數列：

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）36

就稱為斐波那契數列．從第三項起，它的每一項等于前兩項的和．

大家可以試試用特征根法求出它的通項公式

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）37

雖然斐波那契數列的通項公式看上去很複雜，但别忘了它的每一項其實都是正整數．另外，波那契數列還有很多特點，比如它的前一項與後一項的比值越來越接近

高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）38

，也就是黃金分割數，所以斐波那契數列也被稱為黃金數列．

由數海拾貝供稿。

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高中數學求數列通項公式7（高中數學求數列通項的特征根法）39

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