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三角形重心的比例性質
三角形重心的比例性質
更新时间:2025-04-26 14:04:53

三角形重心是三角形三條中線的交點,是一個非常特殊的點,具有很多特殊的性質。有些涉及重心的問題,直接使用這些性質會事半功倍。下面簡要總結一下。

1.三角形重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1

△ABC中,AD、BE、CF分别為BC、AC、AB邊上的中線,交點為O。則AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1

三角形重心的比例性質(三角形重心的三個重要性質)1

證明:

如圖,連接EFAD交于G,由三角形中位線定理知,EF∥BC。又因EAC中點,因此GAD中點。

三角形重心的比例性質(三角形重心的三個重要性質)2

因為△EOG∽△BOD,且相似比為1:2,因此可計算出:

AG:GO:OD=3:1:2,于是AO:OD=2:1。其他同理。

這個定理在一些給出重心要求計算邊長關系的問題中相當有用。

2.三角形的重心和三個頂點組成的三個三角形面積相等

△ABC中,AD、BE、CF分别為BC、AC、AB邊上的中線,交點為O。則S△AOB=S△BOC=S△COA

三角形重心的比例性質(三角形重心的三個重要性質)3

證明:先證S△AOB=S△BOC,其他同理。

(計算三角形面積基本上要做“高”的輔助線)

因為△AOB=△BOC同底,因此其面積比等于高長比

三角形重心的比例性質(三角形重心的三個重要性質)4

AAP⊥BEP,過CCQ⊥BE延長線于Q

EAC中點,AE=CE,由AAS定理易得△AEP≌△CEQ

因此AP=CQ

S△AOB:S△BOC=AP:CQ=1,因此S△AOB=S△BOC

3.三角形的重心是三角形内到三邊距離之積最大的點。

如圖,O△ABC内一點,O到三條邊的距離分别為h₁、h₂、h₃

求證:當O△ABC的重心時,h₁•h₂•h₃取最大值

三角形重心的比例性質(三角形重心的三個重要性質)5

證明:設三角形三條邊長分别為a、b、c,連接AO、BO、CO

三角形重心的比例性質(三角形重心的三個重要性質)6

S△ABC= S△AOB S△BOC S△COA =1/2(a•h₁ b•h₂ c•h₃)

給定了△ABC,那麼S△ABC是定值,三邊長a、b、c也是定值。

變化的是O的位置,也就是h₁、h₂、h₃是變量。

若求h₁•h₂•h₃的最大值,那麼最直觀的是使用基本不等式。

利用不等式的思想就是:“将變量向定量上湊”。

因為給定的定量是三角形的邊長和面積,那麼就要湊出

h₁•h₂•h₃≤X(X是定值)的形式,且一定是朝着

S△ABC=1/2(a•h1 b•h2 c•h3)的方向做變換

積與和之間的基本不等式為:幾何平均數≤算數平均數

當有兩個變量時,其形式為:

三角形重心的比例性質(三角形重心的三個重要性質)7

當有三個變量時,其形式為:

三角形重心的比例性質(三角形重心的三個重要性質)8

于是我們可以得到:

三角形重心的比例性質(三角形重心的三個重要性質)9

(當且僅當ah₁=bh₂=ch₃時等号成立,等号成立的條件極其重要)

那麼,無需繼續進行計算,隻需要知道當ah₁=bh₂=ch₃時,h₁•h₂•h₃取最大值即可。

那麼此時S△AOB=S△BOC=S△COA,即O是重心。

因此,當O為△ABC重心時,到三邊距離之積最大。

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