教你學好高中數學-tft每日頭條

教你學好高中數學（高中數學學渣聽不懂）1

1944年《美國數學月刊》首次出現一個像蝴蝶一樣的圖形題目，第一次出現了“蝴蝶定理”這個名稱。事實上，在1815年，英國一本雜志《男士日記》上登出了一篇征解問題，這是“蝴蝶定理”的第一次問世，同時中學數學教師霍納給出了第一個證明，這個證明方法就是“霍納證法”，完全是基于初等的平面幾何證明方法，這個證明方法也是最流行，最簡潔的。相信很多初中的小夥伴也會證明！

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蝴蝶定理：設M為圓内弦PQ的中點，過M作弦AB和CD。設AD和BC各相交PQ于點X和Y，則M是XY的中點。

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最為歐氏幾何的最精彩結論，“蝴蝶定理”僅僅停留在圓中，那是不可能的，今天我們一起來探讨圓錐曲線中的“蝴蝶定理”。它能為我們高考數學做哪些幫助呢？

事實上，通過射影變換，顯然可以知道“蝴蝶定理”對于圓錐曲線的情形是非常适合的。但是如果針對一般情形，高考題不可能考察到，因為那樣會使計算量異常恐怖。故對于高中數學，我們需要掌握兩類“蝴蝶”模型就好，我們把它們稱之為“橫蝴蝶”和“豎蝴蝶”。

橫蝴蝶定理1：過橢圓短軸上任意一點M的兩條弦端點作兩條直線,一定截過M點與短軸垂直的直線為相等的線段，即：PM=MQ

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定理2：過雙曲線虛軸上任意一點M的兩條弦端點作兩條直線,一定截過M點與虛軸垂直的直線為相等的線段，即：PM=MQ

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定理3：過抛物線對稱軸上任意一點M的兩條弦端點作兩條直線,一定截過M點與對稱軸垂直的直線為相等的線段即：PM=MQ

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下面看“橫蝴蝶”兩道應用題

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豎蝴蝶定理1：過橢圓長軸所在直線上任意一點T（t，0）的兩條弦AB和CD端點的直線AD和BC截過T點的垂線段相等，即：NT＝TM

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定理2：過雙曲線實軸所在直線上任意一點T（t，0）的兩條弦AB和CD端點的直線AD和BC截過T點的垂線段相等，即：NT＝TM

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定理3：過抛物線對稱軸所在直線上任意一點T（t，0）的兩條弦AB和CD端點的直線AD和BC截過T點的垂線段相等，即：NT＝TM

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由于“豎蝴蝶”和“橫蝴蝶”的用法基本類似，這裡不再舉例。

最後

迄今為止，“蝴蝶定理”的證法有60餘種，其中又10餘種用初等方法即可證明，200多年來，“蝴蝶定理”吸引了衆多數學愛好者，在大家不斷的完善過程中，又誕生了許許多多的推論形式。本文僅僅是把圓中的“蝴蝶”推廣到了圓錐曲線中的“蝴蝶”，事實上，對于筝形、凸四邊形、甚至退化為兩條直線，“蝴蝶定理”都是成立的。希望本文能起到抛磚引玉的作用，激起同學們學習圓錐曲線的熱情，欣賞圓錐曲線中蘊含的美感。