第一章 勾股定理

一、勾股定理

1、直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2 b2=c2。

2、勾股定理的驗證：測量、數格子、拼圖法、面積法，如青朱出入圖、五巧闆、玄圖、總統證法„„（通過面積的不同表示方法得到驗證，也叫等面積法或等積法）。

3、勾股定理的适用範圍：僅限于直角三角形。

二、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c有關系a2 b2=c2，那麼這個三角形是直角三角形。

三、勾股數

滿足a2 b2=c2的三個正整數，稱為勾股數。

常見的勾股數有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）„„

四、勾股數的規律

1、短直角邊為奇數，另一條直角邊與斜邊是兩個連續的自然數，兩邊之和是短直角邊的平方。即當a為奇數且a＜b時，如果b c=a2，那麼a,b,c就是一組勾股數.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）„„

2、無理數：無限不循環小數叫做無理數。

在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一時之，歸納起來有四類：

（ 3）有特定結構的數，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函數值，如sin60 o 等

二、實數的倒數、相反數和絕對值

1、相反數

實數與它的相反數時一對數（隻有符号不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a b=0，a=—b，反之亦成立。

2、絕對值

在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。（|a|≥0）。零的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。

3、倒數

如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。零沒有倒數。

4、數軸

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。

5、估算

三、平方根、算數平方根和立方根

1、算術平方根：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那麼這個正數x就叫做a的算術平方根。特别地，0的算術平方根是0。

性質：正數和零的算術平方根都隻有一個，零的算術平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2=a，那麼這個數x就叫做a的平方根（或二次方根）。

性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。

開平方：求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。

3、立方根

一般地，如果一個數x的立方等于a，即x3=a那麼這個數x就叫做a 的立方根（或三次方根）。

性質：一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。

四、實數大小的比較

1、實數比較大小：正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；數軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大；兩個負數，絕對值大的反而小。

2、實數大小比較的幾種常用方法

（ 1）數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。

（ 2）求差比較：設a、b是實數，

（3）求商比較法：設a、b是兩正實數，

（4）絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則

（5）平方法：設a、b是兩負實數，則

五、算術平方根有關計算（二次根式）

2、性質：

（1）被開方數的因數是整數，因式是整式；

（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式

六、實數的運算

1、六種運算：加、減、乘、除、乘方 、開方

2、實數的運算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最後算加減，如果有括号，就先算括号裡面的。

3、運算律

第三章 位置的确定

一、 在平面内，确定物體的位置一般需要兩個數據。

二、平面直角坐标系及有關概念

1、平面直角坐标系

在平面内，兩條互相垂直且有公共原點的數軸，組成平面直角坐标系。其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統稱坐标軸。它們的公共原點O稱為直角坐标系的原點；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

2、象限

為了便于描述坐标平面内點的位置，把坐标平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點（坐标軸上的點），不屬于任何一個象限。

3、點的坐标的概念

對于平面内任意一點P,過點P分别x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數a，b分别叫做點P的橫坐标、縱坐标，有序數對（a，b）叫做點P的坐标。

點的坐标用（a，b）表示，其順序是橫坐标在前，縱坐标在後，中間有“，”分開，橫、縱坐标的位置不能颠倒。平面内點的坐标是有序實數對，當

時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐标。

平面内點的與有序實數對是一一對應的。

4、不同位置的點的坐标的特征

（1）各象限内點的坐标的特征

（2）坐标軸上的點的特征

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上

x，y同時為零，即點P坐标為 （0，0）即原點

（3）兩條坐标軸夾角平分線上點的坐标的特征

點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）

x與y相等

點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上

x與y互為相反數

（4）和坐标軸平行的直線上點的坐标的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐标相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐标相同。

（5）關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐标的特征

①點P與點p’關于x軸對稱

橫坐标相等，縱坐标互為相反數，即 點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）

②點P與點p’關于y軸對稱

縱坐标相等，橫坐标互為相反數，即 點 P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）

③點P與點p’關于原點對稱

橫、縱坐标均互為相反數，即點 P（x，y）關于原點的對稱點為P’（-x，-y）

（6）點到坐标軸及原點的距離

點P(x,y)到坐标軸及原點的距離：

三、坐标變化與圖形變化的規律：

第四章 一次函數

一、函數：

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就确定了一個y值，那麼我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。

二、自變量取值範圍

使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值範圍。一般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。

三、函數的三種表示法及其優缺點

1、關系式（解析）法

兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符号的等式表示，這種表示法叫做關系式（解析）法。

2、列表法

把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。

3、圖象法

用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。

四、由函數關系式畫其圖像的一般步驟

1、列表：列表給出自變量與函數的一些對應值

2、描點：以表中每對對應值為坐标，在坐标平面内描出相應的點

3、連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

五、正比例函數和一次函數

1、正比例函數和一次函數的概念

一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成

（k， b為常數，k

0），稱y是x的正比例函數。

2、一次函數的圖像: 所有一次函數的圖像都是一條直線

3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：

一次函數

的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數

的圖像是經過原點（ 0，0）的直線。

注：當b=0時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例。

4、正比例函數的性質

一般地，正比例函數

有下列性質：

（1）當k>0時，圖像經過第一、三象限，y随x的增大而增大；

（2）當k<0時，圖像經過第二、四象限，y随x的增大而減小。

5、一次函數的性質

一般地，正比例函數

有下列性質：

（1）當k>0時，y随x的增大而增大

（2）當k<0時，y随x的增大而減小

6、正比例函數和一次函數解析式的确定

确定一個正比例函數，就是要确定正比例函數定義式

（k≠0）中的常數k。确定一個一次函數，需要确定一次函數定義式

y=kx b（k≠0） 中的常數 k和b。解這類問題的一般方法是待定系 數法。

7、一次函數與一元一次方程的關系：

任何一個一元一次方程都可轉化為：kx b=0（k、b為常數 k≠0）的形式．而一次函數解析式形式正是y=kx b（k、b為常 數，k≠0）．當函數值為0時，即kx b=0就與一元一次方程完全相 同．

結論：由于任何一元一次方程都可轉化為kx b=0（k、b為常 數，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉化為：當一次 函數值為0時，求相應的自變量的值．

從圖象上看，這相當于已知直線y=kx b确定它與x軸交點的 橫坐标值．

第五章 二元一次方程組

一、二元一次方程

含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程。

二、二元一次方程的解

适合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

三、二元一次方程組

含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

四、二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。

五、二元一次方程組的解法

1、代入（消元）法

2、加減（消元）法

六、一次函數與二元一次方程（組）的關系

1、一次函數與二元一次方程的關系：

直線y=kx b上任意一點的坐标都是它所對應的二元一次方程 kx- y b=0的解

2、一次函數與二元一次方程組的關系：

的圖象的交點。

當函數圖象有交點時，說明相應的二元一次方程組有解；當函數圖象（直線）平行即無交點時，說明相應的二元一次方程組無解。

第六章 數據的分析

一、刻畫數據的集中趨勢（平均水平）的量：平均數 、衆數、中位數

二、平均數

1、平均數：一般地，對于n個數

我們把

叫做這n個數的算術平均數，簡稱平均數，記為

2、加權平均數

三、衆數

一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的衆數。

四、中位數

一般地，将一組數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。

第七章 平行線的證明

一、命題 :判斷一件事情的句子。

如果一個句子沒有對某一件事情做出任何判斷，那麼它就不是命題。每個命題都由條件和結論兩部分組成。條件是已知的事項，結論是由已知事項推論出的事項。命題通常可以寫成“如果。。。。。那麼。。。。”的形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那麼”引出的部分是結論。

正确的命題稱為真命題，不正确的命題稱為假命題。

公認的真命題稱為真理。演繹推理的過程稱為證明，經曆證明的真命題稱為定理。

二、平行線的判定

1、平行線的判定公理

（1）兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼這兩條直線平行．

（2）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．

注意：證明兩直線平行，關鍵是找到與特征結論相關的角.

2、平行線的性質

定理：兩直線平行，同位角相等

定理：兩直線平行，内錯角相等

定理：兩直線平行，同旁内角互補

定理：平行于同一條直線的兩條直線平行

三、三角形的内角和定理

1、三角形内角和定理：三角形内角和等于180º

2、三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和

3、三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的内角

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