通過專題總結，我們已經知道極限的多種計算方法，包括級數收斂的必要條件、比值極限與根值極限的關系、等價無窮小與等價無窮大替換、洛必達法則、施笃茲定理、單調有界準則、夾逼準則、積分中值定理、微分中值定理、定積分與重積分的精确定義、積分的變限與加邊問題、華裡士公式、斯特林公式等. 大家可以回讀以前的各專題來溫習這些方法.

隻有這些零碎的方法是不夠的，我們需要系統地對重要的内容進行總結歸納并加以綜合實戰. 本專題首先全面歸納極限的相關計算技巧、方法，總結一下拿到一道計算題後應該有的思路，然後提供一份極限計算的綜合練習題，并附以參考答案.

第一部分思路總結

我們首先全面歸納極限的相關計算技巧、方法.

一、利用定義證明

當一個極限形式較為簡單，且結果已知時，可以用極限的定義加以證明.

二、函數極限的直接代入法

當一個函數在趨向點處連續時，可以将趨向點直接代入函數解析式中，得出極限結果.

三、通過計算單側極限求極限

若左右極限的情況差别較大，尤其是當無窮大處的指數函數或反正（餘）切函數、整點處的取整函數、分段點處的分段函數等情形出現時，則一般需要分别考慮左右極限.

四、借助簡單的概念判斷來确定極限

如“有界量”乘以“無窮小量”趨近于0，“有界量”除以“無窮大量”趨近于無窮大，“趨于非零常數的量”乘以“無窮大量”趨近于無窮大，“絕對值小于1的常數”的無窮大次幂趨于0，正的常數開無窮大次方趨近于1等等. 此外，在計算某些∞/∞極限時，還可以比較函數或數列值趨于無窮的速度，如指數函數比幂函數趨于無窮的速度快，故當x→ ∞時，x¹⁰⁰/2^x的極限等于0

五、根據子列極限情況推導原數列極限情況

若能在數列中取出兩不同子列，使得這兩個子列的極限不相等，則可以斷定原極限不存在；若能在數列中取出一個發散的子列，也能說明原極限不存在. 若所有奇數項以及偶數項組成的兩子列極限均存在且相等，則可以說明原數列極限也存在且等于這個值，即數列的奇數項構成的數列與偶數項構成的數列的極限存在并且相等時，則原數列的極限存在并且等于相同的極限值.

六、海涅定理

利用海涅定理證明函數極限不存在，或進行從函數極限到數列極限的轉化.

海涅定理的内容：

函數f(x)在x→x₀時極限等于A的充要條件是，對于任何滿足以下三個條件的數列{x_n}，都有n→ ∞時f(x_n)的極限等于A成立：

（1）對任何正整數n，都有x_n≠x₀；

（2）對任何正整數n，f(x_n)都要有定義；

（3）n→ ∞時x_n→x₀.

要證明一個函數極限不存在有兩種思路：

一是找到一個滿足定理中三個條件的數列{x_n}使得n→ ∞時f(x_n)的極限不存在；

二是找到兩個滿足定理中三個條件的數列{x_n}和{x'_n}使得n→ ∞時f(x_n)和f(x'_n)不相等.

此外，若某個函數極限的值已經确定，則對應的數列極限也為此值，這裡的理論依據也是海涅定理. 通過這個道理，我們可以将某些數列極限轉化為函數極限進行計算（這樣方便求導、使用洛必達法則等），然後轉化回數列極限.

七、因式分解

某一些多項式是可以因式分解從而約去緻零因子的，進一步可以定出未定式的極限值.

八、化無窮大為無窮小

我們可以在一個分式的極限中，給分子和分母同時除以式中出現的最高階的無窮大，從而使得其他的無窮大量都變成無窮小，易于算出極限.

九、有理化

若式中出現了無理式，可以使用有理化的方法進行恒等變形. 若分子中出現了無理式，可對分子進行有理化；若分母中出現了無理式，可對分母進行有理化；若均出現，可以分子分母同時有理化. 有理化的具體方法就是，對分子和分母同時乘以無理式的“共轭根式”. 如果兩個根式的乘積不含根号，就稱這兩種形式互為共轭根式，比如：

十、求和求積恒等變限求極限

先求和或求積再求極限，或對式子進行其他簡單的恒等變形，再求極限. 如果某個式子易于直接求和，或易于直接求積，或能通過簡單的變形求出極限，不妨就先變形，以便于迅速求得極限.

十一、利用對數恒等式

N=e^lnN. 在計算幂指函數的極限時，經常需要我們通過這個恒等式化簡，讓幂指函數消失，極限就易于求出了.

十二、利用三角恒等變換公式

三角恒等變換公式在一些關于三角函數的題目中可以起到至關重要的化簡作用. 這一點在不定積分的計算中體現得更加淋漓盡緻.

十三、利用重要極限

有許多關于三角函數或1^∞的題目都可以分别向着這兩個極限的框架靠攏，根據這兩條結論計算極限值.

十四、變量替換法

若式中多次出現某一複雜部分，可以令這個複雜的部分為一個新元，分析出這個新元的趨向，從而化簡極限.

十五、等價無窮小量代換與等價無窮大量代換

我們必須記住常見的等價無窮小與等價無窮大的結論，如果在題目中見到了這些形式，一定要及時地運用結論進行等價無窮小或等價無窮大的代換. 具體可參照以往的專題（二）.

十六、洛必達法則與施笃茲定理

對于0/0型和∞/∞型的函數極限，我們可以使用洛必達法則，即分子分母分别求導，但一定要注意法則的使用條件. 對于其餘類型的未定式，也可以轉化為0/0型和∞/∞型的極限. 對于數列極限，由于其不能求導，所以必須先求對應的函數極限，再通過海涅定理轉化成數列極限. 此外，對于0/0型和∞/∞型的數列極限，也可使用施笃茲定理解決，依然必須留意定理的使用條件. 具體可參考以往的專題（三）.

十七、利用夾逼準則

無論是具體型還是抽象型的極限，夾逼準則都是一個重要的思想，對數列或函數進行适當的放縮，合理地定出其上下界，進而确定極限值. 此外，壓縮映射的思想也是十分重要的. 關于這部分内容，學友們可以閱讀以往的專題（四）.

十八、單調有界準則

我們可以通過證明數列或函數的單調性和有界性，确定極限的存在性，再通過解方程等方法定出具體的極限值. 具體也可參照專題（四）.

十九、利用中值定理

中值定理可以分為微分中值定理和積分中值定理. 若極限中出現了函數值的增量，則可以考慮拉格朗日中值定理或柯西中值定理，若出現了定積分，則可以考慮積分中值定理（出現定積分的極限有時還可以直接計算積分或使用夾逼準則等方法，若是積分上限函數的分式形式，還可以使用洛必達法則，具體可回讀以往的專題（四）和專題（五））.

二十、泰勒（麥克勞林）公式展開法

若函數較為複雜，但易于展開成泰勒級數，則可以使用這種方法求出極限. 本文附有相關例題進行練習和講解，如16題與21題.

二十一、利用導數定義

導數本身就是通過極限來定義的，如果一個極限形式便于化成導數定義的形式，則可以轉化成導數.

二十二、利用定積分或重積分定義

若一個極限便于湊成積分和的形式，則可以轉化成積分的計算. 這部分内容可以參看以往的專題（五）和專題（六）.

二十三、利用級數收斂的必要條件

若一個級數收斂，則通項數列将收斂于0. 具體可參照以往的專題（一）.

二十四、利用級數求和的方法

若一個極限可以轉化成某個級數的和，如幂級數或傅裡葉級數，則可以用相關的級數求和方法進行計算.

二十五、利用柯西收斂準則

數列{x_n}收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數ε，總存在正整數N，使得當m>N，n>N時，有| x_n -x_m|<ε. 利用這個準則，僅能判定數列收斂還是發散，既沒有用到也不能求出具體的極限值. 想要求出極限值，必須還得輔以别的方法——甚至有的極限結果無法解析地表示出來.

二十六、利用“比值極限”與“根值極限”的關系

根值型極限是可以轉化成比值型極限的，具體可參考以往的專題（一）.

二十七、利用華裡士（沃利斯，Wallis）公式

若式中出現了雙階乘的比值，可能會用到華裡士（沃利斯，Wallis）公式.

二十八、利用斯特林公式

若式中出現了階乘，可以通過斯特林公式将階乘化掉. Wallis公式與斯特林公式可參考以往的專題（七）.

二十九、利用其他學科的方法

有時，微積分可以和其他學科如線性代數、概率論與數理統計、複變函數論等學科緊密結合，希望大家可以靈活變通.

三十、熟能生巧

這才是計算極限的終極奧義，隻有通過大量的練習，才會對各種題目都可以輕松解決，手到擒來.

至此，極限計算專題已經結束，希望大家在閱讀了這套極限計算專題之後可以通過大量的實踐來反複練習，直至完全掌握. 極限是微積分或數學分析中極為重要的概念，希望學友們對其加以重視.

第二部分綜合練習

下面将提供30道綜合練習題，除了能練習一些求極限的基本能力，以及在之前的專題中學到的方法之外，還能體會到許多其它的新思想，希望大家能好好利用這份習題，提升能力.

參考解答參見後續推文！

感謝學友Veecen的熱心整理分享，歡迎更多學友分享好的學習資源、學習經驗和大學生活經曆

• 極限專題（七）利用華裡士公式與斯特林公式求極限
• 極限專題（六）：積分定義中的變限與加邊問題
• 極限專題（五）：利用微分中值定理與積分定義求極限
• 極限專題（四）：利用單調有界準則與夾逼準則求極限
• 極限專題（三）：利用洛必達法則與施笃茲定理求極限
• 極限專題（二）：利用等價無窮小與等價無窮大替換求極限
• 極限專題（一）：利用級數相關判别法和性質求極限
• 中值定理證明與輔助函數構造思路與方法（一）
• 中值定理證明與輔助函數構造思路與方法（二）

相關推薦

有關極限計算幾大最基本，也是最重要方法的詳細分析、探索，應用方法的問題類型，以及應用各方法應該注意事項的讨論可以參見《公共基礎課》在線課堂曆屆競賽真題和專題解析教學視頻. 每屆視頻針對不同的極限問題類型和不同的求極限方法，以經典實例方式給出了一般的求極限思路與步驟，并對解題思路、思想、方法以及相關内容進行了歸納總結與延伸拓展，其中第三屆、第六屆、第九屆、第十屆真題解析視頻相對包含問題類型最多，方法也最多.

具體細節點擊公衆号菜單“高數線代”下的“在線課堂視頻教學”，或公衆号後台回複“在線課堂”可以了解《公共基礎課堂》基本内容介紹，點擊本文左下角“閱讀原文”浏覽公衆号所有曆史推文分類列表.

考研競賽數學(ID: xwmath) 大學數學公共基礎課程分享交流平台！