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中考數學三角形定理圖解

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利用全等三角形證明線段間的數量位置關系是數學中考的常考題型，本文就例題詳細解析這類題型的解題方法，希望能給初三學生的數學複習帶來幫助。

如圖，AB=8，射線BG⊥AB，P為射線BG上一點，以AP為邊作正方形APCD，且點C，D與點B在AP兩側，在線段DP上取一點，使∠EAP=∠BAP，直線CE與線段AB相交于點F（點F與點A，B不重合）。

（1）試判斷CF與AB的位置關系，并說明理由；

（2）求△AEF的周長。

1、證明：CF⊥AB

根據正方形的性質和題目中的條件：AP=CP，∠APC=90°，∠APD=∠CPD；

根據全等三角形的判定和結論：AP=CP，∠APD=∠CPD，PE=PE，則△APE≌△CPE；

根據全等三角形的性質和結論：△APE≌△CPE，則∠PAE=∠PCE，AE=CE；

根據題目中的條件和結論：BG⊥AB，∠APC=90°，則∠CPG ∠APB=90°，∠APB ∠BAP=90°，即∠CPG=∠BAP；

根據題目中的條件和結論：∠PAE=∠PCE，∠PAE=∠BAP，則∠PCE=∠BAP；

根據結論：∠CPG=∠BAP，∠PCE=∠BAP，則∠CPG=∠PCE；

根據平行線的判定和結論：∠CPG=∠PCE，則CF∥BG；

根據題目中的條件：BG⊥AB，則∠ABG=90°；

根據平行線的性質和結論：CF∥BG，∠ABG=90°，則∠AFC=∠ABG=90°，即CF⊥AB。

2、求△AEF的周長

過點C作CQ⊥BG于點Q

根據題目中的條件：CQ⊥BG，則∠PCQ=90°；

根據全等三角形的判定和結論：∠PCQ=∠ABG=90°，∠CPG=∠BAP，AP=CP，則△PCQ≌△APB；

根據全等三角形的性質和結論：△PCQ≌△APB，則PQ=AB，CQ=BP；

根據矩形的判定和結論：∠PCQ=∠ABG=∠BFC=90°，則四邊形BFCQ為矩形；

根據矩形的性質和結論：四邊形BFCQ為矩形，則BF=CQ，BQ=CF；

根據結論：CQ=BP，BF=CQ，則BP=BF；

根據結論：BQ=CF，BQ=PQ BP，則CF=PQ BP；

根據結論：CF=PQ BP，PQ=AB，BP=BF，則CF=AB BF；

根據題目中的條件和結論：AE=CE，△AEF的周長=AE AF EF，則△AEF的周長=CE EF AF=CF AF；

根據結論：△AEF的周長=CF AF，CF=AB BF，AF=AB-BF，則△AEF的周長=2AB；

根據題目中的條件和結論：△AEF的周長=2AB，AB=8，則△AEF的周長=16。

解決本題的關鍵是利用條件和正方形的性質證明到一組全等三角形，利用全等性質得到線段、角度間的等量關系，進而證明到線段間的位置關系。