1、 如圖 在 △ABC 中 ，AB = 4，AC=2，D 是 BC 中點，若 AD 是整數，求 AD 的長度？

第1題圖

解：延長AD到E,使AD=DE

∵ AB-BE＜AE＜AB BE 即 1＜AD＜3

∴ AD = 2 。

2、 如圖，在△ABC 中 ， D 是 AB 的中點，∠ACB=90°，求證： CD = 1/2 AB 。

第2題圖

證明：延長CD 到 P 點，使 D為 CP 的中點，連接 PA 和 PB ，則四邊形 PACB 為矩形；

由矩形的性質可知 矩形的對角線相等且互相平分，所以 CD = 1/2 AB 。

推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

3、如圖，在五邊形 ABCDE 中 ，BC = DE，∠B = ∠E，∠C = ∠D，F 是 CD 中點，求證：∠1=∠2 。

第3題圖

證明：

連接 BF 和 EF ∴ △BCF ≌ EDF (SAS) ∴ BF=EF, ∠CBF=∠DEF

連接 BE ∴ ∠EBF=∠BEF

∵ ∠ABC=∠AED ∴ ∠ABE=∠AEB

∴ AB=AE ∴ △ABF ≌ △AEF ∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4、如圖，在 △ABC 中 ∠1=∠2，CD = DE，EF//AB，求證：EF = AC 。

第4題圖

證明：

過點 C 作 CG∥EF 交AD 的延長線于點 G，由CG∥EF，可得 ∠EFD＝∠CGD ；

∴ △EFD ≌ △CGD EF＝CG ∴ △AGC為等腰三角形，GC = AC 。

易證 △DFE ≌ △DGC （AAS） ∴ GC = EF = AC 。

5、在 △ABC 中， 已知 AD 平分 ∠BAC，AC = AB BD，求證：∠B = 2∠C 。

第5題圖

證明：

延長 AB 取點 E，使 AE ＝ AC，連接 DE

∴ △AED ≌ △ACD （SAS） ∴ ∠E = ∠C

∵ AC = AB BD ∴ AE = AB BD = AB BE ∴ BD = BE

∴ △BED 為等腰三角形

∴ ∠B = 2∠C （三角形外角和定理） 。

6、如圖，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B ∠D=180°，求證：AE=AD BE 。

第6題圖

證明：

在AE上取點 F，使 EF＝ EB，連接 CF

∵ CE⊥AB ∴ △CEB ≌ △CEF ∴ ∠B＝∠CFE

∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA ∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴ AD＝AF ∴ AE＝AF＋FE＝AD＋BE

7、如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，點 E 在 AD上 。

求證：BC = AB DC 。

第7題圖

證明：

在BC上截取BF=AB，連接EF

∴⊿ABE ≌ ⊿FBE（SAS） ∴∠A = ∠BFE ∴ ∠D = ∠CFE

∴ ⊿DCE ≌ ⊿FCE（AAS） ∴ CD = CF ∴ BC = BF CF = AB CD 。

8、如圖，已知：AB=CD，∠A=∠D，求證：∠B=∠C。

第8題圖

證明：

E點是射線 BA,CD 的交點，則：△AED 是等腰三角形 。

∴AE=DE ∴ BE = CE (等量加等量，或等量減等量）

∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C。

9、如圖，點 P 是 ∠BAC平分線 AD 上一點，AC > AB，求證：PC - PB < AC - AB 。

第9題圖

證明：

在AC上取點E， 使AE＝AB；

∴△EAP≌△BAP ∴PE＝PB PC＜EC＋PE ∴ PC＜（AC－AE）＋PB

∴ PC－PB＜AC－AB 。

10、如圖， 已知 ∠ABC =3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC - AB= 2BE 。

第10題圖

證明：

在AC上取一點D，使得∠DBC=∠C

∵∠ABC=3∠C ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC = 3∠C - ∠C=2∠C；

∵∠ADB=∠C ∠DBC=2∠C; ∴AB=AD ∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰△ABD 中，點 E 一定在直線 BD 上，

在等腰△ABD中，∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB ∴AC-AB= 2BE 。

11、如圖，已知，點 E 是 AB 的中點，AF = BD，BD = 5，AC = 7，求 DC 的長度。

第11題圖

證明：

∵ 作 AG∥BD 交 DE 延長線于 點 G

∴△AGE ≌ △BDE ∴ AG = BD = 5

∴△AGF∽△CDF AF=AG=5 ∴DC = CF = 2 。

12、如圖①，E、F分别為線段AC上的兩個動點，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點M。

（1）求證：MB=MD，ME=MF ；

（2）當E、F 兩點移動到如圖②的位置時，其餘條件不變，上述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由。

第12題圖

證明：

（1）連接BE，DF

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．

∴四邊形BEDF是平行四邊形． ∴MB=MD，ME=MF；

（2）連接BE，DF

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD， ∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

∴DE=BF． ∴四邊形BEDF是平行四邊形． ∴MB=MD，ME=MF。

13、已知：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點 。

（1）求證：△AED ≌ △EBC；

（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請再寫出兩個與△AED的面積相等的三角形，

（直接寫出結果，不要求證明）。

第13題圖

證明：

（1）∵DC∥AB ∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE

∴△AED≌△EDC ∵E為AB中點 ∴AE＝BE

∴BE＝DC ∵DC∥AB ∴∠DCE＝∠BEC ∵CE＝CE

∴△EBC ≌ △EDC ∴△AED ≌ △EBC

（2）略 。

14、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD 是 ∠ABC 的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線 CE 交 BA 的延長線于點 F，求證：BD=2CE。

第14題圖

證明：

易證 ∠FCA = ∠DBA

∴ △AFC ≌ △ADB ∴ FC = BD

再證 △BFE ≌ △BCE （或 △FBC 為等腰三角形）

∴ EF = EC ∴ BD = 2CE

15、如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF 。

第15題

證明：

（1）△ABF ≌ △AEC（SAS）；

（2）如圖，根據（1）知 △ABF ≌ △AEC，

∴ ∠AEC=∠ABF， 在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，

∴ EC⊥BF 。

第15題答圖

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