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莫比烏斯帶

莫比烏斯帶（德語：Möbiusband），又譯梅比斯環或麥比烏斯帶，是一種拓撲學結構，它隻有一個面（表面），和一個邊界。它是由德國數學家、天文學家莫比烏斯（August Ferdinand Möbius）和約翰·李斯丁（Johhan Benedict Listing）在1858年獨立發現的。

這是在科學和藝術上最不可思議的一個環。最後被定義為數學的領域。

這個結構可以用一個紙帶旋轉半圈（180°）再把兩端粘上之後輕而易舉地制作出來。事實上有兩種不同的莫比烏斯帶鏡像，他們相互對稱。如果把紙帶順時針旋轉再粘貼，就會形成一個右手性的莫比烏斯帶，反之亦類似。

它看起來或多或少像一個戒指，它沒有内部或外部。 如果你把螞蟻放在條帶中間的某個地方，讓它開始在平行于邊緣的線條上行走，然後在行進兩倍于紙張長度的距離之後，它将返回到它的起始點 - 這也意味着，即使其制成的紙條具有兩個長邊，但是莫比斯條僅具有一個連續的邊界。

莫比烏斯帶的奇妙

自從它在十九世紀中葉被發現以來，盡管形狀簡單，莫比烏斯帶本身具有很多奇妙的性質。并且已經吸引了很多數學家和藝術家。

沒有盡頭

MC Escher的木刻 ，描繪螞蟻在沿着長條的一個無休止的步行。這可能是它最有名的藝術表示。

莫比烏斯帶常被認為是無窮大符号“∞”的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為“∞”的發明比莫比烏斯帶還更要早。

剪開

莫比烏斯帶甚至在魔法領域赢得了一席之地，因為它有很好的抵抗被切開成兩半的能力。 你可以很容易地嘗試這個：沿着螞蟻走過的線切開紙條，你會發現，得到的不是你期望的兩個獨立的戒指，而是一個長的有兩個完整的扭曲紙條。

再剪開

我們已經知道，如果從中間剪開一個莫比烏斯帶，不會得到兩個窄的帶子，而是會形成一個把紙帶的端頭扭轉了兩次再結合的環（并不是莫比烏斯帶）。再把剛剛做出那個把紙帶的端頭扭轉了兩次再結合的環從中間剪開，則變成兩個環。

如果你把帶子的寬度分為三等分，并沿着分割線剪開的話，會得到兩個環，一個是窄一些的莫比烏斯帶，另一個則是一個旋轉了兩次再結合的環。另外一個有趣的特性是将紙帶旋轉多次再粘貼末端而産生的。比如旋轉三個半圈的帶子再剪開後會形成一個三葉結。剪開帶子之後再進行旋轉，然後重新粘貼則會變成數個Paradromic。

非定向性

數學家對莫比烏斯帶的另一個略微神奇的屬性感興趣。 你可以把任何形狀繪制在其表面，隻需滑動它，就會得到鏡像。 這個概念被稱為非定向性 ，而莫比烏斯帶是不可定向表面的标準示例。

單面性和非定向性是紙環的所謂拓撲性質：無論你如何拉伸，擠壓或變形帶材，隻要你不撕裂，這些屬性将保持完好。 拓撲學家簡單地忽略不涉及切割或撕裂的任何變形，所以對他們來說，任何兩個莫比烏斯環，無論尺寸，形狀或材料如何不同，都是同一件事。

現實中的莫比烏斯帶

如果你采取一個現實生活的莫比烏斯環，把它放下來自然狀态，你會發現它很快安定成一個特征的形狀，無論彈性材料是什麼樣的，形狀是一樣的。 問題是，直到現在沒有人知道如何給出這個休息位置的精确的數學描述。 沒有辦法預測特定尺寸和材料的條帶将如何沉降。 考慮到莫比烏斯帶具有一系列實際應用 - 例如用于輸送帶，記錄帶和過山車 - 這是一個真正的問題：如果你想使用莫比斯帶，你需要知道它最終會成為什麼樣子的形狀。

當莫比斯帶向下沉降時，它将将其彎曲到其先前的非松弛位置所需的能量最小化。 Starostin和Heijden認識到，這種能量最小化的平衡狀态可以通過一組微分方程來描述，考慮到條帶的縱橫比 - 其寬度和長度之間的比率 - 以及由其制成的材料的彈性性質，研究人員能夠使用方程來計算靜止位置的精确幾何形狀。

神奇的莫比烏斯帶，用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會隻磨損一面了。如果把錄音機的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就隻有一個面了。莫比烏斯帶對于藝術也有很深的影響。芽編真心期待會有更多美妙的發現。

三角形裡的三個角

歐幾裡得證明了三角形中三個内角之和為平角（180度）

數學的美感就在于，很多情況下，即便是業餘愛好者，隻要具有一定的洞察力也能有全新的發現，并且找出新的證據。

斯坦福大學的數學家 路德 華盛頓，在他還是學生的時候，就想到了用一種相當簡單的方法--隻用一支鉛筆就能加以證明。你能想出他是怎樣做到的嗎？

摘自Ivan Moscovich 《The Puzzle Universe》

拓撲和地形-【一分鐘數學】

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