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推導牛頓萊布尼茨定積分公式
推導牛頓萊布尼茨定積分公式
更新时间:2025-04-03 11:00:00

我們都知道牛頓-萊布尼茲的公式,關于這方面的各類文章資料可以說數不勝數,多如牛毛,我們不在此作任何贅述

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)1

但對于二重積分的牛頓-萊布尼茲的公式卻鮮為人知,屈指可數,這是本篇的重點

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)2

提前告知我們的小夥伴們,二重積分的牛頓-萊布尼茲公式就是如下形式,你知道它是怎麼來的嗎?

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)3

我們來看如何證明這個結論:

首先F(x,y)對x,y的偏導數是如下形式,這個大家一目了然

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)4

我們令(這是有上面的式子得到)

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)5

如果我們取原函數F(x,y)與上式隻差,得到一個新的有關x,y的函數

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)6

很明顯,對上式G(x,y)取偏導數,就等于0,對于這個式子你學過偏導數就很容易理解哦

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)7

因此Gy(x,y)是不依賴于x的,僅與y有關的連續函數:Gy(x,y)=β(y),若令

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)8

其中很明顯B(y)中含有y的項與G(x,y)中含有y的項是相同的,G(x,y)-B(y)中僅含有與y無關的項,所以就會得到

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)9

或者可以理解G(x,y)-B(y)是不依賴于y的,僅與x有關的連續函數A(x),即

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)10

根據上述得出的式子,我們就得到

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)11

根據文章開頭F0(x,y)的二重積分,我們得到

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)12

結合上面兩個式子所以我們很容易得到

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)13

這個就是二重積分的牛頓-萊布尼茲公式形式

如果将b,d 換成x, y就變成如下樣式

推導牛頓萊布尼茨定積分公式(你知道二重積分)14

以上證明比較簡單,但邏輯性很強,希望對夥伴們有所幫助

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