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結構動力學分析中，最基礎、也是最重要的一種分析類型就是“結構模态分析”。模态分析主要用于計算結構的振動頻率和振動形态，因此，又可以叫做頻率分析或者是振型分析。動力學分析可分為時域分析與頻域分析，模态分析是動力學頻域分析的基礎分析類型。

基礎理論

動力學控制方程可表示為微分方程：

其中，[M] 為結構質量矩陣，[C] 為結構阻尼矩陣，[K] 為結構剛度矩陣，{F } 為随時間變化的外力載荷函數，{u} 為節點位移矢量，

為節點速度矢量，{ü} 為節點加速度矢量。

在結構模态分析中不需要考慮外力的影響，因此，模态分析的動力學控制方程可表示為：

理想情況下，結構在振動過程中，不考慮阻尼效應，也就是所謂的自由振動情況，模态分析又可描述為：

對上進一步分析，假設此時的自由振動為諧響應運動，也就是說u=u0sin(ωt)，上又可進一步描述為：

對上式求解，可得方程的根是ωi ²，即特征值，其中i 的範圍是從1到結構自由度個數N（有限元分析中，自由度個數N 一般不超過分析模型網格節點數的三倍）。

特征值開平方根是ωi，即固有圓周頻率，這樣，結構振動頻率（結構固有頻率）fi 就可通過公式fi =ωi/2π 得到。有限元模态分析可以得到fi 或者ωi，都可以用來描述結構的振動頻率。

特征值對應的特性矢量為{u}i。特征矢量{u}i 表示結構在以固有頻率fi 振動時所具有的振動形狀（振型）。

模态分析中的矩陣

1. 模态分析微分方程組包含六個矩陣：

• [K] 代表剛度矩陣。可參考“結構靜力學”中的解釋說明。
• {u} 代表位移矢量。主要用來描述模态分析的振型。可參考“結構靜力學”中的解釋說明，但一定要注意，模态分析中得到的位移矢量與靜力學分析中位移矢量代表變形不同。
• [C] 代表阻尼矩陣。指結構在振動過程中受到的阻尼。事實上，在宇宙空間中，任何結構在動力學過程中都包含阻尼，阻尼直接影響到結構的振動頻率與振動形态。比如某些結構為了降低振動帶來的産品性能傷害，選擇用橡膠墊片等。然而在頻率計算中，因為阻尼對常規結構的影響較小，往往忽略阻尼。阻尼的種類很多，在有限元分析中，有材料阻尼、結構阻尼、系統阻尼以及瑞利阻尼等。
• 代表節點速度矢量。速度矢量與阻尼矩陣共同組成了力平衡矩陣，速度矢量就是位移矢量的一階導數。速度矢量同樣需要通過有限元計算得到。
• [M] 代表結構質量矩陣。質量矩陣形成結構的固有慣性，是區别于靜力學分析的又一重要因素。在有限元分析時，往往需要對結構網格化，因為網格化技術的限制，有限元模型得到結構質量與實際模型質量往往不同，這裡就需要工程師具備豐富的工程經驗來判斷修正與質量配平。
• {ü} 代表節點加速度矢量。加速度矢量與質量矩陣共同組成了力平衡矩陣，加速度矢量就是位移矢量的二階導數。加速度矢量同樣需要通過有限元計算得到。

振動頻率影響因素

考慮模态分析最簡單的轉換形式

對其進一步轉化，可得ω²=[K]/([M]){u})。因此，模态頻率與結構的剛度成正比，與結構的質量成反比。

通過上面的描述，我們可以得到模态分析的一些基本特征：

• 模态分析是動力學分析的一種最簡化形式的分析類型，也就是說，所有的動力學分析中，都直接或者間接包含了模态計算。
• 一般性模态分析中，至少要包含質量矩陣與剛度矩陣，剛度矩陣一般通過楊氏模量表示，質量矩陣一般通過密度表示。也就是說，模态分析在結構材料屬性定義時，相比靜力學分析，要多一個密度屬性的設定。
• 模态分析的頻率總是在對應的振動形态下産生的，也就是說，在描述結構振動頻率時，往往要考慮此階模态下的結構振動方向。
• 模态分析中的約束關系會影響結構的剛度矩陣，但是在分析過程中，約束條件不是必要條件，也就是說可不添加約束。
• 模态分析在有限元計算過程中，一定要保證結構網格的疏密合理、大小均勻分布，這樣用足夠的網格數才能得到合理的振動形态，進而得到合理的振動頻率。
• 有限元分析中，模态分析計算得到的頻率有多階，按照從小到大的方式輸出。

模态分析相關實例

選擇靜力學分析時用到的懸臂梁模型，并添加鋼密度屬性7850Kg/m³；不考慮懸臂梁頂部的重物（考慮重物對懸臂梁的影響時，可選擇預應力模态分析）。要求通過有限元分析技術得到結構的固有頻率。

分析思路與求解過程要點說明：

• 懸臂梁一端固定，不考慮阻尼效應，由于結構此時沒有受外力影響，故選擇最簡模式模态分析。結構動力學設計中，往往低階頻率是工程師比較關注的，此例子提取前6階模态；

• 選擇合适單元類型，并采用合适的網格技術得到懸臂梁合适的網格劃分，确保網格劃分後的有限元網格模型與實際懸臂量模型接近；

• 選擇合适的計算機設備求解；
• 對求解結果進行合理性判斷。

實例結果與讨論：

通過有限元結構模态分析計算輸出數據判斷，此懸臂梁前兩階模态分别代表懸臂梁的Y方向振動與X方向振動，提取模态振型如下所示：

1階模态振型（此振型代表懸臂量的Y方向基礎振型）

2階模态振型（此振型代表懸臂量的X方向基礎振型）

前6階模态頻率展示

通過輸出數據可知，1階模态振型條件下，結構振動頻率為141Hz；2階模态振型條件下，結構振動頻率為244Hz。此時，通過有限元其他輸出數據可得到，1階模态振型條件下，結構有效振動質量約占總體質量的71%；2階模态振型條件下，結構有效振動質量約占總體質量的74%。

結果判斷與讨論：

• 結構前兩階模态頻率是否滿足結構設計，需要與結構外力條件（或者是激勵）對比。如果頻率接近，此時結構産生共振，容易導緻結構破壞；如果頻率相差較遠（不管是頻率偏大還是偏小），說明結構振動頻率滿足設計。
• 如果模态頻率與結構設計激勵頻率接近，需要進一步采用其他動力學分析類型（比如諧響應分析）計算結構的動态特征，此時，一般情況下，需要考慮模态計算時結構振動頻率下的有效質量。比如此例中，1階模态振動方向為Y方向，此時Y方向在前6階模态的有效質量占比約為71%，是不滿足計算要求的，也就是說，此例中模态計算是不準确的，采用當前的網格技術以及模态計算方法不能夠進行後期的動力學計算（可通過提高網格精度以及提取更多的模态數提供有效質量占比）。
• 模态振型結果中，往往會有雲圖顯示，此時雲圖數據（如上面1階模态振型圖）不代表結構實際的位移變形量；此雲圖數據描述了結構振動過程中，各部分的變形相對數據，可服務于後期其他動力學計算。

總結與說明

• 模态分析需要結構具有較為均勻的網格尺寸；
• 随着模型網格單元的數目增多，可計算的模态階數也增多，需要選擇合适的模态計算階數，往往前幾階頻率是工程應用中比較關注的；
• 模态階數的選擇，一般要求參與計算的各模态等效質量大于整體結構質量的95%；
• 模态計算中，一般應把結構在坐标系統中的三個方向的模态計算出來；
• 模态計算用于計算頻率與當前頻率下的結構振型，變形與應力結果僅僅作為振型的參考，不可直接應用于強度與剛度計算；
• 模态計算中，材料屬性除了楊氏模量等剛度參數，必須包括質量參數，比如密度或者質量；
• 模态計算得到的頻率可作為結構産生共振的參考，具體的共振效應分析需要結合其他分析過程；
• 模态計算中，應建立合适的計算模型，确定要計算局部模态還是整體模态。

模态分析思想與步驟：

• 确定分析需求，建立合适的計算模型；
• 确定結構質量分布與剛度分；
• 考慮結構的彈性模型、泊松比以及質量參數（比如密度），确定合适的邊界條件；
• 提取一定振動條件下的振動形态與頻率；
• 如果需要進一步了解模态分析，請參考其他技術分享内容，比如：預應力模态分析、諧波分析等。

模态分析選用軟件建議：ansys、abaqus、adina、nastran等通用有限元分析皆可，其中nastran在工程庫方面略有優勢。結果精度主要依賴于工程師對結構設計的理解，與軟件選擇無關。

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