什麼叫最小公倍數?導讀 之前我們介紹了最大公因數，它與最小公倍數之間的聯系是什麼？本期我們主要來讨論這個問題，我來為大家講解一下關于什麼叫最小公倍數?跟着小編一起來看一看吧!

什麼叫最小公倍數

導讀

之前我們介紹了最大公因數，它與最小公倍數之間的聯系是什麼？本期我們主要來讨論這個問題。

先來回顧最大公因數與其相關定理，再給出主要結論。

最大公因數

定義 設a，b是任意兩個非零整數，如果d|a，d|b，則稱d是a，b的一個公因數。a和b的公因數中最大的一個叫做a，b的最大公因數，記為(a, b).

例子 (12, 15)=3。

注：如果(a，b)=1，那麼我們稱a和b互素。此時稱分數a/b為既約分數。易知a，b的公因數都是(a，b)的公因數。

定理1 設a，b是任意兩個不全為零的整數，則存在整數s，t使得

as bt=(a, b).

例子 (4, 6)=2, 6×1 4×（-1）=2.

定理2 設a，b是任意兩個不全為零的整數。若m是任一正整數，則

(am，bm)=(a, b)m.

例子 (4, 6)=2, (4×3, 6×3)=2×3

最小公倍數

定義 設a，b是任意兩個非零整數，如果a|m，b|m，則稱m是a，b的一個公倍數。a和b的公倍數中最小的正數叫做a，b的最小公倍數，記為[a, b].

例子 [3, 4]=12。

引理1 若c|ab, 且（a, c）=1，則c|b.

例子 2|3×6， （2, 3）=1， 則2|6.

定理 設a，b是任意兩個正整數，則a，b的所有公倍數就是[a, b]的所有公倍數，且

[a, b]=ab/(a, b).

分析 隻需證明2件事

1. ab/(a, b)是a, b的公倍數。

2. 所有a, b的公倍數都是ab/(a, b)的倍數。

證明 設m是a, b的公倍數，m=aq=bp. 令a=u(a, b), b=v(a, b).

則有 uq=vp. 由定理2知(u, v)=1. 故由引理1可知 u|p. 令p=uk，則

m=bp=buk=[ab/(a, b)]k.

反之 因為b/(a, b)是整數，所以

a|[ab/(a, b)], 同理b|[ab/(a, b)]. 所以

ab/(a, b)是a, b的公倍數。□

例子 24與32，（24, 32）=8，由定理可知

[24, 32]=24×32÷8=96.